解析初三數(shù)學(xué)中的雙動(dòng)點(diǎn)問題

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1、解析初三數(shù)學(xué)中的雙動(dòng)點(diǎn)問題河北省樂亭縣新寨鎮(zhèn)新寨初級中學(xué)劉衛(wèi)忠動(dòng)點(diǎn)問題屬于動(dòng)態(tài)問題，所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目。解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題。關(guān)鍵：動(dòng)中求靜。數(shù)學(xué)思想：分類思想、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想。注重對幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的考查，從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究

2、能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。圖形在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計(jì)算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路，這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。此次，針對中考動(dòng)點(diǎn)問題中涉及到的關(guān)于幾個(gè)方面的類型，憑多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并結(jié)合下面中考試題談?wù)勛约旱挠^點(diǎn)和看法。希望能起到拋磚引玉的作用。專題一：利用兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究面積與時(shí)間之間的變化規(guī)律。以直角三角形為背景，綜合相似三角形、三角函數(shù)、二次函數(shù)等知識，體現(xiàn)方程、函數(shù)和分類討論的數(shù)學(xué)思想。例一：(2010臺州)如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點(diǎn)P，

3、Q都是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)，BP=AQ．點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)A，B以Q，P為對稱中心的對稱點(diǎn)，HQ⊥AB于Q，交AC于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)頂點(diǎn)A時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP的長為x，△HDE的面積為y．（第2例題）H（1）求證：△DHQ∽△ABC；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求y的最大值；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△HDE為等腰三角形？【分析】（1）、考察點(diǎn)對稱的知識。（2）、三角形相似的證明方法（兩角相等兩三角形相似）。（3）、分類討論問題，點(diǎn)D、E位置不同時(shí)，△HDE為不同的等腰三角形?！敬鸢浮拷猓海?）∵A、D關(guān)于點(diǎn)Q成中心對稱，HQ⊥AB，∴=9

4、0°，HD=HA，∴，∴△DHQ∽△ABC．（圖2）（圖1）（2）①如圖1，當(dāng)時(shí)，ED=，QH=，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，最大值．②如圖2，當(dāng)時(shí)，ED=，QH=，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，最大值．∴y與x之間的函數(shù)解析式為y的最大值是．（3）①如圖1，當(dāng)時(shí)，若DE=DH，∵DH=AH=，DE=，∴=，．顯然ED=EH，HD=HE不可能；②如圖2，當(dāng)時(shí)，若DE=DH，=，；若HD=HE，此時(shí)點(diǎn)D，E分別與點(diǎn)B，A重合，；若ED=EH，則△EDH∽△HDA，∴，，．∴當(dāng)x的值為時(shí)，△HDE是等腰三角形.【涉及知識點(diǎn)】三角函數(shù)、二次函數(shù)、相似三角形、直角三角形【點(diǎn)評】本題是綜合性比較強(qiáng)的問題，它巧妙的運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，把相似

5、三角形和三角函數(shù)、直角三角形、二次函數(shù)等知識結(jié)合起來，屬于難度較大的問題．專題二：利用坐標(biāo)系工具探究坐標(biāo)系中雙動(dòng)點(diǎn)問題規(guī)律。以坐標(biāo)系為背景，最大的優(yōu)點(diǎn)就是提供了圖形和點(diǎn)的具體位置。在坐標(biāo)系中研究問題，最主要的就是搞清楚各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用這些坐標(biāo)確定三角形的高、底等，可很方便的求三角形的面積。當(dāng)然，解決坐標(biāo)系中的問題時(shí)，不要離開幾何圖形本身的性質(zhì)及利用相似、全等、三角形函數(shù)等知識。例二：(2010淮安)如題3(a)圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(12，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(6，8)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，沿△OAB的三邊按逆時(shí)針方向以2個(gè)單位長度／秒的速度運(yùn)動(dòng)一周．(1)點(diǎn)

6、C坐標(biāo)是(，)，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)8.5秒時(shí)所在位置的坐標(biāo)是(，)；(2)設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，試用含t的代數(shù)式表示△OCD的面積S,并指出t為何值時(shí)，S最大；(3)點(diǎn)E在線段AB上以同樣速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，如題3(b)圖，若點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，問在運(yùn)動(dòng)5秒鐘內(nèi)，以點(diǎn)D，A，E為頂點(diǎn)的三角形何時(shí)與△OCD相似(只考慮以點(diǎn)A．O為對應(yīng)頂點(diǎn)的情況)：題3(a)圖題3(b)圖【分析】（1）若求點(diǎn)的坐標(biāo)，可以過該點(diǎn)作x軸的垂線，所以可以借助于平行線等分線段定理解決，求出D和C的坐標(biāo)；（2）此問題是分類得問題，當(dāng)點(diǎn)D在不同的邊上時(shí)，三角形的面積是不同的，然后根據(jù)圖形之間的關(guān)系求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)求最值

7、的問題解決；（3）與（2）一樣，只不過借助于三角形相似來解決．【答案】解：（1）C（3，4）、D（9，4）（2）當(dāng)D在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（0＜t＜6）；當(dāng)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)O作OE⊥AB，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足分別為E和F，過D作DM⊥OA，過B作BN⊥OA，垂足分別為M和N，如圖：設(shè)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，所以DA=2t－12，BD=22－2t，又因?yàn)镃為OB的中點(diǎn)，所以BF為△BOE的中位線，所以，又因?yàn)?/p>