赤平投影原理及講解

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1、一、序言巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析方法有許多，但無(wú)論是平面滑動(dòng)的單一楔形斷面滑體、單滑塊和多滑塊分析法，還是楔體滑動(dòng)的仿平面分析法、楔體分割法、立體分析法、霍克分析法以及《巖土工程勘察規(guī)范》（GB50021－94）推薦法等，在計(jì)算邊坡穩(wěn)定性系數(shù)時(shí)，需要知道滑體控制平面（包括結(jié)構(gòu)面和坡面、坡頂面）或直線（包括平面的法線）的地質(zhì)產(chǎn)狀，以及平面與平面、直線與直線、直線與平面間夾角等。其中平面和直線的產(chǎn)狀可以通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量獲取，除此之外的幾何參數(shù)，在沒(méi)有發(fā)明極射赤平投影之前，都是用計(jì)算法求得，不僅它們的計(jì)算公式復(fù)雜，而且計(jì)算過(guò)程繁瑣，也很容易出

2、錯(cuò)。如果采用極射赤平投影求解邊坡穩(wěn)定性分析所需的幾何參數(shù)，那就可以簡(jiǎn)化這些幾何參數(shù)的計(jì)算過(guò)程，而且一般情況下只需要在現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量出各個(gè)控制平面的地質(zhì)產(chǎn)狀即可。二、極射赤平投影的基本原理（一）投影要素極射赤平投影（以下簡(jiǎn)稱赤平投影）以圓球作為投影工具，其進(jìn)行投影的各個(gè)組成部分稱為投影要素，包括：1.投影球（也稱投射球）：以任意長(zhǎng)為半徑的球。2.球面：投影球的表面稱為球面。3.赤平面（也稱赤平投影面）：過(guò)投影球球心的水平面。4.大圓：通過(guò)球心的平面與球面相交而成的圓，統(tǒng)稱為大圓（如圖一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圓的

3、直徑相等，且都等于投影球的直徑。當(dāng)平面直立時(shí)，與球面相交成的大圓稱為直立大圓（如圖一（a）中PSFN）；當(dāng)平面水平時(shí)，與球面相交成的大圓稱為赤平大圓或基圓（如圖一（a）中NESW）；當(dāng)平面傾斜時(shí)，與球面相交成的大圓稱為傾斜大圓（如圖一（a）中ASBN）。5.小圓：不過(guò)球心的平面與球面相而成的圓，統(tǒng)稱為小圓（如圖一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。當(dāng)平面直立時(shí)，與球面相交成的小圓稱為直立小圓（如圖一（b）中DC）；當(dāng)平面水平時(shí)，與球面相交成的小圓稱為水平小圓（如圖一（b）中AB）；當(dāng)平面傾斜時(shí)，與球面相交成的小圓稱為

4、傾斜小圓（如圖一（b）中FG或圖一（c）中PACB）。6.極射點(diǎn)：投影球上兩極的發(fā)射點(diǎn)（如圖一），分上極射點(diǎn)（P）和下極射點(diǎn)（F）。由上極射點(diǎn)（P）把下半球的幾何要素投影到赤平面上的投影稱為下半球投影；由下極射點(diǎn)（F）把上半球的幾何要素投影到赤平面上的投影稱為上半球設(shè)影。一般采用下半球投影。7.極點(diǎn)：通過(guò)球心的直線與球面的交點(diǎn)稱為極點(diǎn)，一條直線有兩個(gè)極點(diǎn)。鉛直線交球面上、下兩個(gè)點(diǎn)（也就是極射點(diǎn)）；水平直線交基圓上兩點(diǎn)；傾斜直線交球面上兩點(diǎn)（如圖五中A、B）。（二）平面的赤平投影平面與球面相交成大圓或小圓，我們把大圓或小圓上各點(diǎn)

5、和上極射點(diǎn)（P）的連線與赤平面相交各點(diǎn)連線稱為相應(yīng)平面的赤平投影。1.過(guò)球心平面的赤平投影隨平面的傾斜而變化：傾斜平面的赤平投影為大圓?。ㄈ鐖D二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圓的一條直徑（如圖一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圓（如圖一中的NESW）。2.不過(guò)球心平面的赤平投影也隨平面傾斜而變化：直立平面的赤平投影是基圓內(nèi)的一條圓?。ㄈ鐖D三KD′H）；傾斜平面的赤平投影有以下三種情況：⑴當(dāng)傾斜小圓在赤平面以下時(shí)，投影是一個(gè)圓，且全部在基圓之內(nèi)（如圖三FG）；⑵當(dāng)傾斜小圓全部位于上半球時(shí)，投影也是一個(gè)圓，但全部在

6、基圓之外；⑶當(dāng)傾斜小圓一部分在上半球，另一部分在下半球時(shí)，赤平面以下部分的投影在基圓之內(nèi)，以上部分的投影在基圓之外。當(dāng)球面小圓通過(guò)上極射點(diǎn)時(shí)，其赤平投影為一條直線（如圖一（c）中PACB的投影為AB）；水平小圓的赤平投影在基圓內(nèi)（如圖四中A′B′），A′B′是一個(gè)與基圓同心的圓。（三）直線的赤平投影直線AB的投影點(diǎn)就是其極點(diǎn)A、B和極射點(diǎn)P的連線與赤平面的交點(diǎn)A′、B′。鉛直線的投影點(diǎn)位于基圓中心；過(guò)球心的水平直線的投影點(diǎn)就是基圓上兩個(gè)極點(diǎn)，兩點(diǎn)間距離等于基圓直徑；傾斜直線的投影點(diǎn)有兩個(gè)，一點(diǎn)在基圓內(nèi)，另一個(gè)在基圓外，兩點(diǎn)呈對(duì)

7、蹼點(diǎn)，在赤平投影圖上兩點(diǎn)的角距相差180°（如圖五）。（四）吳氏網(wǎng)及其CAD制作目前廣泛使用的極射赤平投影有等角距投影網(wǎng)和等面積投影網(wǎng)。等角距投影網(wǎng)是由吳爾福發(fā)明的，簡(jiǎn)稱吳氏網(wǎng)；等面積投影網(wǎng)是由施密特發(fā)明的，簡(jiǎn)稱施氏網(wǎng)。兩者的主要區(qū)別在于：球面上大小相等的小圓在吳氏網(wǎng)上的投影仍然是圓，投影圓的直徑角距相等，但由于在赤平面上所處位置不同，投影圓的大小不等，其直徑隨著投影圓圓心與基圓圓心的距離增大而增大。而在施氏網(wǎng)上的投影則呈四級(jí)曲線，不成圓，但四級(jí)曲線所構(gòu)成的圖形面積是相等的，且等于球面小圓面積的一半。使用吳氏網(wǎng)求解面、線間的角

8、距關(guān)系時(shí)，旋轉(zhuǎn)操作顯示其優(yōu)越性，不僅作圖方便，而且較為精確。而使用施氏網(wǎng)時(shí)，可以作出面、線的極點(diǎn)圖或等密度圖，能夠真實(shí)反映球面上極點(diǎn)分布的疏密，有助于對(duì)面、線群進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，但其存在作圖麻煩等缺點(diǎn)。1.吳氏網(wǎng)的結(jié)構(gòu)及成圖原理吳氏網(wǎng)（圖六）由基圓、南北經(jīng)向大圓弧（NGS）、東西