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《三維矢量的復指數(shù)形式坐標變換及其應用》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、三維矢量的復指數(shù)形式坐標變換及其應用王智圣（濟南市新技術研究所）摘要：本文提出三維矢量可以表示為如下形式：r=r[（cosθ/cosψ）eiφ+jψ]，探討了應用該法表示矢量時的坐標變換方式和求導運算方法。該方法已應用于空間機構實例的運動分析。關鍵詞：復數(shù)三維矢量坐標變換空間機構0?前言???對于空間機構的運動分析，目前常用的方法是矩陣法。在應用這一方法時，為了進行坐標變換、必須做冗長的矩陣運算，這使得整個分析運算過程變得十分繁瑣。???二維矢量可以表示為如下形式：r=reiθ???若坐標系繞原點旋轉了α角并沿某定矢量α做了平移，則變換后的矢量可簡潔地表示為：r1=r
2、ei(θ+α)-α???若設法將三維矢量也表示為復指數(shù)形式，那么可以設想，這種表示法也應能夠簡化坐標變換的運算。本文試圖導出這種表達形式，探討其運算規(guī)律并應用于空間機構的運動分析。1?基本關系式???(1)基本規(guī)定???規(guī)定i2=j2=-1；ij=ji=0。并規(guī)定乘積iij和jij無意義。???(2)根據(jù)復數(shù)的基本原理[1]，若以實數(shù)1對應于X軸的單位矢量，以虛單位i記Y軸的單位矢量，則任何一個二維矢量對應一個確定的復數(shù)x＋yi。在以上原理的基礎上，增添虛單位j記Z軸的單位矢量，構造復數(shù)Z＝x＋yi＋zj，并規(guī)定：兩個復數(shù)Z1與Z2僅當x1＝x2、y1＝y(tǒng)2、z1＝z
3、2時相等；兩個復數(shù)的和規(guī)定為Z1＋Z2＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)i＋(z1＋z2)j。那么任何一個三維矢量r對應于一個確定的復數(shù)x＋yi＋zj。???(3)如圖1，以rxy和rzx分別表示r在xy平面及ZX平面的投影。φ角是rxy所在直線與x軸之夾角，θ角是rxy所在直線與r間之夾角。對φ和θ之正方向作如下規(guī)定。???(4)規(guī)定1???φ角始邊是正向x軸，當對著z軸看時，以逆時針旋向為φ角正向。θ角始邊是φ角的終邊，當由θ角始邊旋轉至r時，以旋轉中靠近或先經過正向Z軸的旋向為θ角正向。???(5)在坐標系O－xyz中，r可表示為：r=x+yi+zj=rxy(co
4、sφ+isinφ)+zj利用基本規(guī)定中ij=0可將上式表示為：????r=rxy(cosφ+isinφ)+zj+(zsinφ/cosφ)ij??????=[rxy+(z/cosφ)j](cosφ+isimφ)??????=[rxy+j(z/cosφ)]eiφ??????????=[(1/cosφ)eiφ](rxycosφ+zj)??????=[(1/cosφ)eiφ](x+zj)??????=rzx(cosΨ+jsinΨ)[(1/cosφ)eiφ]??????=rzx(1/cosφ)eiΨeiφ???????????=rzx[(1/cosφ)]eiφ+jΨ式中??Ψ─
5、─rzx與正向x軸間的夾角???由圖1可知：rzx=r(cosθcosφ/cosΨ)???將此式代入前式得：r=r[(cosθ/cosψ)eiφ+jψ]?(1)???該式即以復指數(shù)形式表示三維矢量的基本式子。???(6)將式(1)右邊展開，并注意據(jù)基本規(guī)定ij=0：r[cosθ/cosψ）eiφ+jψ]=r(cosθ/cosψ)eiφejψ=r(cosθ/cosψ)(cosφ+isinφ)(cosψ+jsinψ)=r(cosθcosφ+icosθsinφ+jcosθcosφtanψ)又據(jù)圖1可推得：tanψ=tanθ/cosφ?(2)將式(2)代入前式得：r=r[(c
6、osθ/cosψ)eiφ+jψ]=r[cosθcosφ+icosθsinφ+jsinθ](3)???由式(3)可知，確定r的三個獨立變量是r、θ、和φ，而ψ是非獨立變量。2?坐標變換???(1)規(guī)定2???當坐標系O—XYZ繞on軸（on在XY平面內且過原點）旋轉時，若使矢量r之θ角增大，則稱坐標系O—XYZ關于r繞on軸作了正向旋轉。當坐標系O—XYZ繞OZ軸旋轉時，若使矢量r之φ角增大，則稱坐標系O—XYZ關于r繞OZ軸作了正向旋轉。???(2)本文將“坐標系O—XYZ繞某軸OS正向旋轉了α角成為坐標系O—X1Y1Z1”記為：O—XYZ(OS↑)α→O—X1Y1Z
7、1；若是反向旋轉，則記為：O—XYZ（OS↓）α→O—X1Y1Z1。將“坐標系O—XYZ沿矢量OO1平移后成為坐標系O1—X1Y1Z1”記為：O—XYZ→O—X1Y1Z1。???(3)如圖1，ON軸在XY平面內過原點且垂直于r。在關于r，O—XYZ(ON↑)θ△→O—X1Y1Z1時，角φ不變，將ψ變換后的值記為ψ1，則由(1)式可知，r在新坐標系中應表示為：r1=r{[cos(θ+θ△)/cosψ1]eiφ+jψ1}(4)???(4)在關于r，O—XYZ(OZ↑)θ△→O—X1Y1Z1時，角θ不變，由(1)式可知，r在新坐標系中應表示為：r1=r[(
