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1、第七章常微分方程數(shù)值解1第七章常微分方程數(shù)值解§7.1引言§7.2簡單的單步法及基本概念§7.3Runge-Kutta方法§7.4單步法的收斂性與絕對穩(wěn)定性§7.5線性多步法§7.6一階方程組與高階方程數(shù)值方法2§7.1引言3§7.2簡單的單步法及基本概念§7.2.1Euler法，后退Euler法與梯形法§7.2.2單步法的局部截斷誤差§7.2.3改進(jìn)Euler法4Euler法5Euler法的第二種導(dǎo)出方法6Euler法的第三種導(dǎo)出方法7隱式Euler法若對初值問題積分形式采用右矩形公式可得：稱為隱式（后退）Euler
2、法。8梯形法若對初值問題中對應(yīng)的積分形式采用梯形公式可得：9改進(jìn)Euler法將梯形法和Euler法相結(jié)合，可得到改進(jìn)的Euler法：10§7.4.1單步法的逐步截斷誤差與方法的收斂性稱為方法的累計誤差。為了討論累計誤差，首先引入逐步誤差估計的概念：假定用某公式計算當(dāng)前近似值時用到的前面一步（或多步）的值是準(zhǔn)確值，此時的累計誤差稱為第n+1部的逐步誤差。11§7.3Runge-Kutta方法§7.3.1顯式Runge-Kutta法的一般形式§7.3.2二、三階顯式R-K方法§7.3.3四階R-K方法及步長的自動選擇121
3、3然后通過合適地選取諸松弛參數(shù)來獲得高精度公式:（回顧Gauss求積公式的獲得）事實上，我們有關(guān)于“計算函數(shù)值的個數(shù)與方法的階數(shù)之間”的關(guān)系如右，因此四階Runge-Kutta法是最經(jīng)濟的。14四階Runge-Kutta法：每推進(jìn)一步須計算四次函數(shù)值的4階單步法。15§7.4單步法的收斂性與絕對穩(wěn)定性§7.4.1單步法的收斂性§7.4.2絕對穩(wěn)定性16§7.4.2絕對穩(wěn)定性17181920212223§7.5線性多步法§7.5.1線性多步法§7.5.2Adams顯式與隱式方法§7.5.3Adams預(yù)測-校正方法§7.5
4、.4Milne方法與Hamming方法24§7.5.1線性多步法前面介紹的一步法（如Eular公式、Runge-Kutta法），在提高精度時，需要增加中間函數(shù)值的計算。能否利用更多的已算出的函數(shù)值（構(gòu)造Gauss-Seidel迭代法時曾用過此思想）來構(gòu)造高精度的算法。其中較簡單的一種形式是線性多步法的一般形式252627得p+1個方程，2k個未知參數(shù)，令p+1=2k，可以證明其解的存在性，此時有：2829§7.5.2Adams顯式與隱式方法30Adams顯式方法31因此構(gòu)造4步顯式Adams公式：32Adams隱式方法
5、33注1出于誤差和穩(wěn)定性方面的考慮，通常構(gòu)造預(yù)估校正格式：34注2:研究表明k步顯式Adams方法是k階的：35注3用k步法計算時須先用其它方法（如Runge-Kutta法）求出前面k個值作為初值，此后每推進(jìn)一步只須計算一個新的f值。繼而考慮Adams方法的穩(wěn)定性：36Adams方法的穩(wěn)定性37Adams方法的穩(wěn)定性38§7.5.3Adams預(yù)測-校正方法Adams修正的預(yù)估校正公式：利用4步Adams顯式和3步隱式公式具有同階截斷誤差但系數(shù)不同的特點，將截斷誤差用顯式公式（預(yù)估值，用表示）和隱式公式（校正值，用表示）
6、表示出來，繼而進(jìn)行補足，具體做法如下：3940于是構(gòu)造修正的預(yù)估校正公式：預(yù)估及其修正：校正及其修正：41§7.5.4Milne方法與Hamming方法42如Simpson公式：局部截斷誤差為：Hamming公式：局部截斷誤差為：43例：利用Milne-Hamming公式構(gòu)造修正的預(yù)估校正公式的推導(dǎo)：由局部誤差估計公式：相減得：所以：44于是構(gòu)造修正的預(yù)估校正公式：預(yù)估及其修正：校正及其修正：45§7.6一階方程組與高階方程數(shù)值方法4647對于高階微分方程初值問題，原則上總可歸結(jié)為一階方程組，例如下列m階微分方程484
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