《常微分方程數(shù)值解》PPT課件

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1、第十章常微分方程數(shù)值解法（NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations）問題驅(qū)動：蝴蝶效應(yīng)洛倫茲吸引子(Lorenzattractor)是由MIT大學(xué)的氣象學(xué)家EdwardLorenz在1963年給出的，他給出第一個混沌現(xiàn)象——蝴蝶效應(yīng)。圖10.1.1蝴蝶效應(yīng)示意圖洛倫茲方程是大氣流體動力學(xué)模型的一個簡化的常微分方程組：該方程組來源于模擬大氣對流，該模型除了在天氣預(yù)報(bào)中有顯著的應(yīng)用之外，還可以用于研究空氣污染和全球侯變化。洛倫茲借助于這個模型，將大氣流體運(yùn)動的強(qiáng)度x

2、與水平和垂直方向的溫度變化y和z聯(lián)系了起來。參數(shù)稱為普蘭特?cái)?shù)，是規(guī)范化的瑞利數(shù)，和幾何形狀相關(guān)。洛倫茲方程是非線性方程組，無法求出解析解，必須使用數(shù)值方法求解上述微分方程組。洛倫茲用數(shù)值解繪制結(jié)果圖10.1.1，并發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象?！?引言微分方程數(shù)值解一般可分為：常微分方程數(shù)值解和偏微分方程數(shù)值解。自然界與工程技術(shù)中的許多現(xiàn)象，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可歸結(jié)為常微分方程（組）的定解問題。一些偏微分方程問題也可以轉(zhuǎn)化為常微分方程問題來（近似）求解。Newton最早采用數(shù)學(xué)方法研究二體問題，其中需要求解的運(yùn)動方程就是常微分方程。許多

3、著名的數(shù)學(xué)家，如Bernoulli（家族），Euler、Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循歷史傳統(tǒng)，研究重要的力學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型，在這些問題中，許多是常微分方程的求解。作為科學(xué)史上的一段佳話，海王星的發(fā)現(xiàn)就是通過對常微分方程的近似計(jì)算得到的。本章主要介紹常微分方程數(shù)值解的若干方法。一、初值問題的數(shù)值解法1、一階常微分方程初值問題的一般形式常微分方程的數(shù)值解法分為（1）初值問題的數(shù)值解法（2）邊值問題的數(shù)值解法(2)一般構(gòu)造方法：離散點(diǎn)函數(shù)值集合+線性組合結(jié)構(gòu)→近似公式2.迭代格式的構(gòu)造(1)構(gòu)造思

4、想：將連續(xù)的微分方程及初值條件離散為線性方程組加以求解。由于離散化的出發(fā)點(diǎn)不同，產(chǎn)生出各種不同的數(shù)值方法。基本方法有：有限差分法（數(shù)值微分）、有限體積法（數(shù)值積分）、有限元法（函數(shù)插值）等等。(3)如何保證迭代公式的穩(wěn)定性與收斂性?3.微分方程的數(shù)值解法需要解決的主要問題(1)如何將微分方程離散化，并建立求其數(shù)值解的迭代公式？(2)如何估計(jì)迭代公式的局部截?cái)嗾`差與整體誤差？稱在區(qū)域D上對滿足Lipschitz條件是指:記4、相關(guān)定義二、初值問題解的存在唯一性?考慮一階常微分方程的初值問題/*Initial-Value

5、Problem*/:則上述IVP存在唯一解。只要在上連續(xù),且關(guān)于y滿足Lipschitz條件，即存在與無關(guān)的常數(shù)L使對任意定義在上的都成立，求函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點(diǎn)a=x0

6、?！?歐拉方法/*Euler’sMethod*/?歐拉公式(單步顯示公式）：向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為x0x1亦稱為歐拉折線法/*Euler’spolygonalarcmethod*/在假設(shè)yi=y(xi)，即第i步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差Ri=y(xi+1)?yi+1稱為局部截?cái)嗾`差/*localtruncationerror*/。定義2.2若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱該算法有p階精度。定義2.1?歐拉法的局部截?cái)嗾`差：Ri的主項(xiàng)/*leadingterm*/歐拉法具有1階精度。例1:用歐拉公式

7、求解初值問題取步長。解:應(yīng)用Euler公式于題給初值問題的具體形式為：其中。計(jì)算結(jié)果列于下表：可用來檢驗(yàn)近似解的準(zhǔn)確程度。進(jìn)行計(jì)算，數(shù)值解已達(dá)到了一定的精度。這個初值問題的準(zhǔn)確解為，從上表最后一列，我們看到取步長隱式歐拉法(向后Euler法）/*implicitEulermethod*/向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+?注：由于未知數(shù)yi+1同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式/*implicit*/歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。一般先用顯式計(jì)算一

8、個初值，再迭代求解。?隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差：即隱式歐拉公式具有1階精度。?梯形公式/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注：梯形公式的局部截?cái)嗾`差，即梯形公式具有2階精度，比歐拉方法有了進(jìn)步。但注意到該公式是隱式公式，計(jì)算時不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。歐拉公式的改進(jìn)?中點(diǎn)歐拉公式/*midpoin