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1、第七章常微分方程數(shù)值解1第七章常微分方程數(shù)值解§7.1引言§7.2簡(jiǎn)單的單步法及基本概念§7.3Runge-Kutta方法§7.4單步法的收斂性與絕對(duì)穩(wěn)定性§7.5線性多步法§7.6一階方程組與高階方程數(shù)值方法2§7.1引言3§7.2簡(jiǎn)單的單步法及基本概念§7.2.1Euler法，后退Euler法與梯形法§7.2.2單步法的局部截?cái)嗾`差§7.2.3改進(jìn)Euler法4Euler法5Euler法的第二種導(dǎo)出方法6Euler法的第三種導(dǎo)出方法7隱式Euler法若對(duì)初值問題積分形式采用右矩形公式可得：稱為隱式（后退）Euler法。8梯形法若對(duì)初值問題中對(duì)應(yīng)的積分形式采用梯形公式可得：9改進(jìn)Euler法
2、將梯形法和Euler法相結(jié)合，可得到改進(jìn)的Euler法：10§7.4.1單步法的逐步截?cái)嗾`差與方法的收斂性稱為方法的累計(jì)誤差。為了討論累計(jì)誤差，首先引入逐步誤差估計(jì)的概念：假定用某公式計(jì)算當(dāng)前近似值時(shí)用到的前面一步（或多步）的值是準(zhǔn)確值，此時(shí)的累計(jì)誤差稱為第n+1部的逐步誤差。11§7.3Runge-Kutta方法§7.3.1顯式Runge-Kutta法的一般形式§7.3.2二、三階顯式R-K方法§7.3.3四階R-K方法及步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇1213然后通過合適地選取諸松弛參數(shù)來獲得高精度公式:（回顧Gauss求積公式的獲得）事實(shí)上，我們有關(guān)于“計(jì)算函數(shù)值的個(gè)數(shù)與方法的階數(shù)之間”的關(guān)系如右，因此四
3、階Runge-Kutta法是最經(jīng)濟(jì)的。14四階Runge-Kutta法：每推進(jìn)一步須計(jì)算四次函數(shù)值的4階單步法。15§7.4單步法的收斂性與絕對(duì)穩(wěn)定性§7.4.1單步法的收斂性§7.4.2絕對(duì)穩(wěn)定性16§7.4.2絕對(duì)穩(wěn)定性17181920212223§7.5線性多步法§7.5.1線性多步法§7.5.2Adams顯式與隱式方法§7.5.3Adams預(yù)測(cè)-校正方法§7.5.4Milne方法與Hamming方法24§7.5.1線性多步法前面介紹的一步法（如Eular公式、Runge-Kutta法），在提高精度時(shí)，需要增加中間函數(shù)值的計(jì)算。能否利用更多的已算出的函數(shù)值（構(gòu)造Gauss-Seidel迭
4、代法時(shí)曾用過此思想）來構(gòu)造高精度的算法。其中較簡(jiǎn)單的一種形式是線性多步法的一般形式252627得p+1個(gè)方程，2k個(gè)未知參數(shù)，令p+1=2k，可以證明其解的存在性，此時(shí)有：2829§7.5.2Adams顯式與隱式方法30Adams顯式方法31因此構(gòu)造4步顯式Adams公式：32Adams隱式方法33注1出于誤差和穩(wěn)定性方面的考慮，通常構(gòu)造預(yù)估校正格式：34注2:研究表明k步顯式Adams方法是k階的：35注3用k步法計(jì)算時(shí)須先用其它方法（如Runge-Kutta法）求出前面k個(gè)值作為初值，此后每推進(jìn)一步只須計(jì)算一個(gè)新的f值。繼而考慮Adams方法的穩(wěn)定性：36Adams方法的穩(wěn)定性37Adam
5、s方法的穩(wěn)定性38§7.5.3Adams預(yù)測(cè)-校正方法Adams修正的預(yù)估校正公式：利用4步Adams顯式和3步隱式公式具有同階截?cái)嗾`差但系數(shù)不同的特點(diǎn)，將截?cái)嗾`差用顯式公式（預(yù)估值，用表示）和隱式公式（校正值，用表示）表示出來，繼而進(jìn)行補(bǔ)足，具體做法如下：3940于是構(gòu)造修正的預(yù)估校正公式：預(yù)估及其修正：校正及其修正：41§7.5.4Milne方法與Hamming方法42如Simpson公式：局部截?cái)嗾`差為：Hamming公式：局部截?cái)嗾`差為：43例：利用Milne-Hamming公式構(gòu)造修正的預(yù)估校正公式的推導(dǎo)：由局部誤差估計(jì)公式：相減得：所以：44于是構(gòu)造修正的預(yù)估校正公式：預(yù)估及其修正
6、：校正及其修正：45§7.6一階方程組與高階方程數(shù)值方法4647對(duì)于高階微分方程初值問題，原則上總可歸結(jié)為一階方程組，例如下列m階微分方程4849
