9、造及其精度7.1.1構(gòu)造方法對(duì)于(7.0-1)可借助Taylor展開(kāi)（導(dǎo)數(shù)法）、差商法、積分法實(shí)現(xiàn)離散化來(lái)構(gòu)造求積公式：1.設(shè)y?C[a，b]將y(xi+1)=y(xi+h)在xi處展開(kāi)??[xi，xi+1]?y(xi+1)?yi+hf(xi，yi)其中yi?y(xi).稱(chēng)yi+1=yi+hf(xi，yi).i=0,1,2,…,n–1(7.1-1)為Euler求解公式，（Euler法）62.用差商來(lái)表示：得差分方程：?yi+1=yi+hf(xi，yi).即為Euler公式。若記?yi+1=yi+hf(xi+1，yi+1).(7.1-2)稱(chēng)為向后Euler法。注：①
10、Euler法為顯式，向后Euler法為隱式——須解出yi+1.②可用迭代法yi+1(k+1)=yi+hf(xi+1，yi+1(k))k=0,1,2,…解得yi+1，其中yi+1(0)=yi+hf(xi，yi).73.對(duì)(7.0-1)兩邊取積分得(7.1-3)取不同的數(shù)值積分可得不同的求解公式，如：①用矩形公式：y(xi+1)?y(xi)+hf(xi，y(xi))yi+1=yi+hf(xi，yi)Euler公式y(tǒng)(xi+1)?y(xi)+hf(xi+1，y(xi+1))yi+1=yi+hf(xi，yi)向后Euler公式8②用梯形公式：??(7.1-4)稱(chēng)(7.1-
11、4)為梯形公式??隱式公式。顯化：預(yù)估值：校正值：(7.1-5)稱(chēng)(7.1-5)為改進(jìn)的Euler公式(顯示格式)94.幾何意義Euler法??折線法改進(jìn)Euler法??平均斜率折線法107.1.2截?cái)嗾`差與代數(shù)精度定義7.1-1①稱(chēng)?i=y(xi)–yi為數(shù)值解yi的(整體)截?cái)嗾`差。②若yk=y(xk)，k=0,1,2,…,i–1.由求解公式得數(shù)值解，稱(chēng)為yi的局部截?cái)嗾`差。注：局部截?cái)嗾`差ei是指單步計(jì)算產(chǎn)生的誤差，而(整體)截?cái)嗾`差?i則考慮到每步誤差對(duì)下一步的影響。11定義7.1-2若求解公式的（整體）截?cái)嗾`差為O(hp)，則稱(chēng)該方法是p階方法，或是p階
12、精度。定理7.1-1設(shè)數(shù)值解公式：yi+1=yi+h?(xi，yi，h)中的函數(shù)?(x，y，h)關(guān)于y滿(mǎn)足Lipschitz條件：且其局部截?cái)嗾`差為hp+1階，則其(整體)截?cái)嗾`差為hp階，即該數(shù)值解公式為p階方式。注：①局部截?cái)嗾`差較易估計(jì),定理7.1-1表明：若ei=O(hp+1)則?i=O(hp).②Euler局部截?cái)嗾`差為,所以一階精度。向后Euler法也是一階精度。③梯形公式為二階精度。12例1：用Euler方法求解初值問(wèn)題：取步長(zhǎng)h=0.1，并與準(zhǔn)確解比較解：因?yàn)閤i=1+0.1i，而f(x，y)=y+(1+x)y2，故f(xi，yi)=y
13、i+(2+0.1i)yi2于是Euler計(jì)算公式為yi+1=yi+0.1[yi+(2+0.1i)yi2]，i=0，1，2，3，4注：Euler方法精度較低ex91.m13例2：用改進(jìn)Euler方法求解初值問(wèn)題：取步長(zhǎng)h=0.1，并與準(zhǔn)確解比較解：xi=1+0.1i，于是改進(jìn)Euler法的計(jì)算公式為i=0，1，2，3，4注：改進(jìn)Euler方法精度比Euler方法精度高147.2Runge?Kutta方法7.2.1構(gòu)造高階單步法的直接方法由Taylor公式：當(dāng)h充分小時(shí)，略去Taylor公式余項(xiàng)，并以yi、yi+1分別代替y(xi)、y(xi+1)，得到差分方程：(7
14、.2-1)
