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《內(nèi)積空間和希爾伯特(Hilbert)空間》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第九章內(nèi)積空間和希爾伯特(Hilbert)空間9.1內(nèi)積空間的基本概念教學(xué)目標(biāo):1、掌握內(nèi)積空間和希爾伯特空間的定義,運用定義能夠證明;2、掌握施瓦茨不等式與極化恒等式,并能熟練運用;3、培養(yǎng)學(xué)生抽象、理解、概括、歸納能力和遷移能力;教學(xué)重點:理解內(nèi)積空間和希爾伯特空間的定義.教學(xué)難點:證明過程及運用.在復(fù)歐氏空間中,向量除了有長度的概念外,還定義了兩個向量的內(nèi)積的運算,即若則a與b的內(nèi)積定義為:其中表示的復(fù)共軛,并且內(nèi)積與向量a的長度有以下關(guān)系由內(nèi)積定義,可知兩個向量a與b正交等價于.顯然,在有限維復(fù)歐氏空間中,由
2、(1)定義的內(nèi)積具有下述性質(zhì):1.2.3.在復(fù)歐氏空間的歐幾里得幾何學(xué)中所用到內(nèi)積的性質(zhì)主要是上面三條,因此利用這三條性質(zhì),我們也在一般的線性空間中引入內(nèi)積的的概念.．．定義1設(shè)是復(fù)線性空間,如果對中任何在兩個向量有一復(fù)數(shù)與之對應(yīng),并且滿足下列條件:1.2.3.則稱為與的內(nèi)積,稱為內(nèi)積空間.如果是實的線性空間,則條件3就改為從內(nèi)積的定義,立即可以得到下面的等式設(shè)是內(nèi)積空間,令那么是上的范數(shù).事實上,由內(nèi)積定義(2)式,不難證明為了證明范數(shù)不等式,我們首先證明施瓦茨(Schwarz)不等式:引理1(Schwarz不等式
3、)設(shè)按內(nèi)積成為內(nèi)積空間,則對于中任意向量成立不等式當(dāng)且僅當(dāng)與線性相關(guān)時,不等式(4)中等號才成立.證明:如果,易知對一切因而(4)式成立.若,則對每個復(fù)數(shù),由內(nèi)積條件1,有令那么上式方括號中式子為0,所以兩邊乘以,并且開方,即可得到要證的Schwarz不等式若與線性相關(guān),通過直接計算,易知(4)式中等號成立,反之,若(4)式中等號成立,假定,則與自然線性相關(guān),若,令由Schwarz不等式推導(dǎo)過程,易知,即.所以與線性相關(guān).證畢.由Schwarz不等式,立即可知滿足范數(shù)不等式.事實上所以.稱由(3)式定義的范數(shù)為由內(nèi)積
4、導(dǎo)出的范數(shù),所以內(nèi)積空間是一種特殊的賦范空間.若按(3)式中范數(shù)完備,則稱為Hilbert空間.設(shè)是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù),通過計算,不難證明對中任何兩個向量,成立平行四邊形公式它是平面上平行四邊形公式在內(nèi)積空間中的推廣.反之可以證明,若 是賦范線性空間,其中范數(shù) 對 中任何向量,滿足平行四邊形公式(5),那么一定可在 中定義內(nèi)積,使 就是由內(nèi)積 導(dǎo)出的范數(shù).因此,(5)式是內(nèi)積空間中范數(shù)的特征性質(zhì).下面舉一些內(nèi)積空間的例子例１對 中任意向量,定義易知按(6)中內(nèi)積成為內(nèi)積空間,又由內(nèi)積(6)導(dǎo)出的范數(shù)即為第七章第
5、８節(jié)例４中當(dāng)時所定義的范數(shù),因此由第七章第８節(jié)定理２知,成為Hilbert空間.例２.設(shè)定義則按(7)中內(nèi)積也成為Hilbert空間.例３當(dāng)時,不成為內(nèi)積空間．事實上,令則且但,所以不滿足平行四邊形公式(5),這說明中范數(shù)不能由內(nèi)積導(dǎo)出,因而不是內(nèi)積空間.例４按不成為內(nèi)積空間.事實上,令則且,但因為．所以因此不滿足平行四邊形公式,這就證明了不是內(nèi)積空間.設(shè) 為內(nèi)積空間,由(3)給出了上的范數(shù),反之,通過直接計算可以證明,內(nèi)積與范數(shù)之間成立如下不等式(8)式稱為極化恒等式,它表示內(nèi)積可以用它所導(dǎo)出的范數(shù)來表示.當(dāng)為實內(nèi)
6、積空間時,極化恒等式變?yōu)橛蒘chwarz不等式,立即可知內(nèi)積是兩個變元的連續(xù)函數(shù),即當(dāng)時,有.事實上,因為因收斂,故有界,所以當(dāng)時,上面不等式右端趨于０,因而本節(jié)小結(jié)理解內(nèi)積空間和希爾伯特空間的概念,掌握施瓦茨不等式與極化恒等式,并能熟練運用.作業(yè)教材P264習(xí)題1、２．
