梁的彎曲應(yīng)力

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1、-31-第8章梁的彎曲應(yīng)力梁在荷載作用下，橫截面上一般都有彎矩和剪力，相應(yīng)地在梁的橫截面上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。彎矩是垂直于橫截面的分布內(nèi)力的合力偶矩；而剪力是切于橫截面的分布內(nèi)力的合力。所以，彎矩只與橫截面上的正應(yīng)力σ相關(guān)，而剪力只與剪應(yīng)力τ相關(guān)。本章研究正應(yīng)力σ和剪應(yīng)力τ的分布規(guī)律，從而對(duì)平面彎曲梁的強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算。并簡(jiǎn)要介紹一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論。8.1梁的彎曲正應(yīng)力平面彎曲情況下，一般梁橫截面上既有彎矩又有剪力，如圖8.1所示梁的AC、DB段。而在CD段內(nèi)，梁橫截面上剪力等于零，而只有彎矩，這種情況稱為純彎曲。下面推導(dǎo)梁純彎曲時(shí)橫截面上的

2、正應(yīng)力公式。應(yīng)綜合考慮變形幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力學(xué)關(guān)系等三個(gè)方面。8.1.1彎曲正應(yīng)力一般公式1、變形幾何關(guān)系為研究梁彎曲時(shí)的變形規(guī)律，可通過試驗(yàn)，觀察彎曲變形的現(xiàn)象。取一具有對(duì)稱截面的矩形截面梁，在其中段的側(cè)面上，畫兩條垂直于梁軸線的橫線mm和nn，再在兩橫線間靠近上、下邊緣處畫兩條縱線ab和cd，如圖8.2(a)所示。然后按圖8.1(a)所示施加荷載，使梁的中段處于純彎曲狀態(tài)。從試驗(yàn)中可以觀察到圖8.2(b)情況：（1）梁表面的橫線仍為直線，仍與縱線正交，只是橫線間作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。（2）縱線變?yōu)榍€，而且靠近梁頂面的縱線縮短，靠近梁底面的縱

3、線伸長(zhǎng)。（3）在縱線伸長(zhǎng)區(qū)，梁的寬度減小，而在縱線縮短區(qū)，梁的寬度則增加，情況與軸向拉、壓時(shí)的變形相似。根據(jù)上述現(xiàn)象，對(duì)梁內(nèi)變形與受力作如下假設(shè)：變形后，橫截面仍保持平面，且仍與縱線正交；同時(shí)，梁內(nèi)各縱向纖維僅承受軸向拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。前者稱為彎曲平面假設(shè)；后者稱為單向受力假設(shè)。-31--31-根據(jù)平面假設(shè)，橫截面上各點(diǎn)處均無剪切變形，因此，純彎時(shí)梁的橫截面上不存在剪應(yīng)力。根據(jù)平面假設(shè)，梁彎曲時(shí)部分纖維伸長(zhǎng)，部分纖維縮短，由伸長(zhǎng)區(qū)到縮短區(qū)，其間必存在一長(zhǎng)度不變的過渡層，稱為中性層，如圖8.2(c)所示。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。對(duì)于具有對(duì)

4、稱截面的梁，在平面彎曲的情況下，由于荷載及梁的變形都對(duì)稱于縱向?qū)ΨQ面，因而中性軸必與截面的對(duì)稱軸垂直。綜上所述，純彎曲時(shí)梁的所有橫截面保持平面，仍與變彎后的梁軸正交，并繞中性軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，而所有縱向纖維則均處于單向受力狀態(tài)。從梁中截取一微段dx，取梁橫截面的對(duì)稱軸為y軸，且向下為正，如圖8.3(b)所示，以中性軸為y軸，但中性軸的確切位置尚待確定。根據(jù)平面假設(shè)，變形前相距為dx的兩個(gè)橫截面，變形后各自繞中性軸相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度dθ，并仍保持為平面。中性層的曲率半徑為ρ，因中性層在梁彎曲后的長(zhǎng)度不變，所以又坐標(biāo)為y的縱向纖維ab變形前的長(zhǎng)度為變

5、形后為故其縱向線應(yīng)變?yōu)椋╝）可見，縱向纖維的線應(yīng)變與纖維的坐標(biāo)y成正比。2、物理關(guān)系因?yàn)榭v向纖維之間無正應(yīng)力，每一纖維都處于單向受力狀態(tài)，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，由胡克定律知將(a)式代入上式，得(b)這就是橫截面上正應(yīng)力變化規(guī)律的表達(dá)式。由此可知，橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而在距中性軸為y的同一橫線上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均相等，這一變化規(guī)律可由圖8.4來表示。3、靜力學(xué)關(guān)系以上已得到正應(yīng)力的分布規(guī)律，但由于中性軸的位置與中性層曲率半徑的大小均尚未確定，所以仍不能確定正應(yīng)力的大小。這些問題需再?gòu)撵o力學(xué)關(guān)系來解決。如圖8.5所

6、示，橫截面上各點(diǎn)處的法向微內(nèi)力σ-31--31-dA組成一空間平行力系，而且由于橫截面上沒有軸力，僅存在位于x-y平面的彎矩M，因此，(c)(d)(e)以式(b)代入式(c)，得(f)上式中的積分代表截面對(duì)z軸的靜矩Sz。靜距等于零意味著z軸必須通過截面的形心。以式(b)代入式(d)，得(g)式中，積分是橫截面對(duì)y和z軸的慣性積。由于y軸是截面的對(duì)稱軸，必然有Iyz=0,所示上式是自然滿足的。以式(b)代入式(e)，得（h）式中積分（i）是橫截面對(duì)z軸（中性軸）的慣性矩。于是，(h)式可以寫成（8.1）此式表明，在指定的橫截面處，中性層的曲率

7、與該截面上的彎矩M成正比，與EIz成反比。在同樣的彎矩作用下，EIZ愈大，則曲率愈小，即梁愈不易變形，故EIz稱為梁的抗彎剛度。再將式(8.1)代入式(b),于是得橫截面上y處的正應(yīng)力為（8.2）此式即為純彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式。式中M為橫截面上的彎矩；Iz為截面對(duì)中性軸的慣性矩；y為所求應(yīng)力點(diǎn)至中性軸的距離。當(dāng)彎矩為正時(shí)，梁下部纖維伸長(zhǎng)，故產(chǎn)生拉應(yīng)力，上部纖維縮短而產(chǎn)生壓應(yīng)力；彎矩為負(fù)時(shí)，則與上相反。在利用（8.2）式計(jì)算正應(yīng)力時(shí)，可以不考慮式中彎矩M和y的正負(fù)號(hào)，均以絕對(duì)值代入，正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力可以由梁的變形來判斷。-31--31

8、-應(yīng)該指出，以上公式雖然是純彎曲的情況下，以矩形梁為例建立的，但對(duì)于具有縱向?qū)ΨQ面的其他截面形式的梁，如工字形、T字形和圓形截面梁等仍然可以使用。同時(shí)，在實(shí)際工程中