第2講 Leslie矩陣模型

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1、3.4Leslie矩陣模型本節(jié)將以種群為例，考慮種群的年齡結(jié)構(gòu)，種群的數(shù)量主要由總量的固有增長(zhǎng)率決定，但是不同年齡結(jié)構(gòu)動(dòng)物的繁殖率和死亡率有著明顯的不同，為了更精確地預(yù)測(cè)種群的增長(zhǎng)，在此討論按年齡分組的種群增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型，這個(gè)向量形式的差分方程是Leslie在20世紀(jì)40年代用來(lái)描述女性人口變化規(guī)律的，雖然這個(gè)模型僅考慮女性人口的發(fā)展變化，但是一般男女人口的比例變化不大。假設(shè)女性最大年齡為歲，分歲為個(gè)年齡區(qū)間：年齡屬于的女性稱為第組，設(shè)第組女性人口數(shù)目為，稱為女性人口年齡分布向量，考慮隨的變化情況，每隔年觀察一次，不考慮同一時(shí)間間隔內(nèi)的變化（即將時(shí)間離散化）。設(shè)初始時(shí)間為，時(shí)間的

2、年齡分布向量為，這里只考慮由生育、老化和死亡引起的人口演變，而不考慮遷移、戰(zhàn)爭(zhēng)、意外災(zāi)難等社會(huì)因素的影響。設(shè)第組女性的生殖率（已扣除女嬰的死亡率）為（第組每位女性在年中平均生育的女嬰數(shù)，），存活率（第組女性在年仍活著的人數(shù)與原來(lái)人數(shù)之比，），死亡率，假設(shè)，在同一時(shí)間間隔內(nèi)保持不變，這個(gè)數(shù)據(jù)可由人口統(tǒng)計(jì)資料獲得。時(shí)第一組女性的總數(shù)是時(shí)各組女性（人數(shù)為）所生育的女嬰的總數(shù)，可以由下式表示：時(shí)第組（）女性人數(shù)是時(shí)第組女性經(jīng)年存活下來(lái)的人數(shù)，可以由下式表示：用矩陣將上兩式表示為：記：，，則有稱為L(zhǎng)eslie矩陣，由上式可算出時(shí)間各年齡組人口總數(shù)、人口增長(zhǎng)率以及各年齡組人口占總?cè)丝诘陌俜?/p>

3、比。利用Leslie模型分析人口增長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)觀察時(shí)間充分長(zhǎng)后人口增長(zhǎng)率和年齡分布結(jié)構(gòu)均趨于一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，這與矩陣的特征值和特征向量有關(guān)。矩陣有唯一的單重正特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為：若是矩陣的正特征值，則的任一個(gè)（實(shí)的或者復(fù)的）特征值都滿足：若矩陣的第一行有兩個(gè)順序元素，則的正特征值是嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)特征值這種要求在人口模型中是能保證的，所以矩陣必有嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)特征值。若矩陣有嚴(yán)格優(yōu)勢(shì)特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為，則：這表明時(shí)間充分長(zhǎng)后，年齡分布向量趨于穩(wěn)定，即各年齡組人數(shù)占總數(shù)的百分比幾乎等于特征向量中相應(yīng)分量占分量總和的百分比。同時(shí)充分大后，人口增長(zhǎng)率趨于，或說(shuō)時(shí)，人口遞增；時(shí)，人口遞減；時(shí)，人

4、口總數(shù)穩(wěn)定不變。例1加拿大人口數(shù)量預(yù)測(cè)問(wèn)題為了研究加拿大的人口年齡結(jié)構(gòu)，對(duì)加拿大的人口進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，1965年的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示（由于大于50歲的婦女生育者極少，故只討論0~50歲之間的人口增長(zhǎng)問(wèn)題）表1加拿大人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年齡組年齡區(qū)間1[0,5)0.000000.996512[5,10)0.000240.998203[10,15)0.058610.998024[15,20)0.286080.997295[20,25)0.447910.996946[25,30)0.363990.996217[30,35)0.222590.994608[35,40)0.104590.99184

5、9[40,45)0.028260.9987010[45,50)0.00240—分析：由上表得到加拿大人口的Leslie矩陣如下所示，求解特征方程，可以得到矩陣的特征值：和特征向量：通過(guò)上述過(guò)程大家可以發(fā)現(xiàn)，一旦矩陣的維數(shù)過(guò)大，那么求解特征方程將是一個(gè)非常復(fù)雜的過(guò)程，運(yùn)用matlab求解程序如下：clearallL=zeros(10,10);L(1,:)=[0,0.00024,0.05861,0.28608,0.44791,0.36399,0.22259,0.10459,0.02868,0.00240];L(2,1)=0.99651;L(3,2)=0.99820;L(4,3)=0

6、.99802;L(5,4)=0.99729;L(6,5)=0.99694;L(7,6)=0.99621;L(8,7)=0.99460;L(9,8)=0.99184;L(10,9)=0.98700;[v,d]=eig(L);a1=d(1,1);a2=v(:,1);a3=v(:,1)./sum(v(:,1));pie(a3)legend('[0,5)','[5,10)','[10,15)','[15,20)','[20,25)','[25,30)','[30,35)','[35,40)','[40,45)','[45,50)')結(jié)果：圖1加拿大人口結(jié)構(gòu)示意圖由矩陣的特性可知：當(dāng)時(shí)間

7、充分長(zhǎng)后，年齡分布向量趨于穩(wěn)定，即各年齡組人數(shù)占總數(shù)的百分比幾乎等于特征向量中相應(yīng)分量占分量總和的百分比。如果加拿大婦女生育率和存活率保持1965年的狀況，那么經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間以后，50歲以內(nèi)的人口總數(shù)每5年將遞增7.662%，由特征向量可算得各年齡組人口占總?cè)丝诘谋壤缟蠄D。