《差分方程》PPT課件(I)

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1、主要內(nèi)容差分方程建模實(shí)例一、差分方程的概念二、差分方程的建立三、差分方程的求解五、一階非線性方程四、發(fā)生函數(shù)方法差分方程是一種離散變化的數(shù)學(xué)模型?，F(xiàn)實(shí)世界和社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中，離散變化的現(xiàn)象與過(guò)程隨處可見(jiàn)；而且，在某些場(chǎng)合，用離散變化來(lái)刻畫連續(xù)變化，能使問(wèn)題便于處理和研究。一階差分方程n階差分方程修正模型差分方程建模實(shí)例例1種群生態(tài)學(xué)中的蟲口模型。在種群生態(tài)學(xué)中考慮象蠶、蟬這種類型的昆蟲數(shù)目（即“蟲口”）的變化，注意這種蟲口一代一代之間是不交疊的，每年夏季這種昆蟲成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個(gè)蟲卵孵化成一個(gè)蟲子。

2、第n年的蟲口數(shù)成蟲平均產(chǎn)卵數(shù)阻滯系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式（Logistic方程）影響蟲口的因素周圍環(huán)境提供的空間和食物有限蟲子之間為了生存互相競(jìng)爭(zhēng)而咬斗傳染病及天敵對(duì)蟲子生存的威脅簡(jiǎn)化——規(guī)律咬斗和接觸是發(fā)生在兩只蟲子之間的事件只蟲子配對(duì)的事件總數(shù)影響蟲口的因素量化例2鯊魚和小雜魚的捕食與被捕食問(wèn)題的模型。n單位時(shí)間鯊魚和小雜魚的數(shù)量鯊魚和小雜魚的繁殖率（1）不考慮它們相互之間的影響（2）考慮它們相互之間的影響小雜魚量的增加引起鯊魚量的增加，因子為鯊魚量的增加引起小雜魚量的減少，因子為用差分方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：第一步設(shè)定

3、好實(shí)際問(wèn)題中的未知函數(shù)（數(shù)列），按照已知相關(guān)領(lǐng)域的物理、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)的學(xué)科的規(guī)律建立相鄰的自變量值（一般就是相鄰的時(shí)間）的未知函數(shù)取值間的依賴關(guān)系，建立差分方程模型。第二步對(duì)已建立的差分方程模型，若能直接求解的則求出其解，若不能求解或直接求解比較困難的，則用定性的方法討論其解的變化趨勢(shì)及性質(zhì)。第三步將數(shù)學(xué)討論得到的結(jié)果與實(shí)際情形加以對(duì)照，然后給實(shí)際問(wèn)題一個(gè)滿意的答復(fù)。一、差分方程的概念1.差分的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)實(shí)數(shù)序列二階差分一階差分差分算子例求序列的一階差分與二階差分。MATHEMATICA定理1若序列的通項(xiàng)公式是

4、的一次函數(shù)，則其一階差分為常數(shù)，二階差分為零。反之依然。序列圖形（點(diǎn)列）與差分間的關(guān)系0.3826030.9101950.600957-0.260798-0.882776-0.6931340.1337720.8376890.771438-0.004068數(shù)列與函數(shù)增減性和凹凸性判別方法比較增減性凹凸性函數(shù)數(shù)列2.差分方程由方程的迭代關(guān)系可得方程的任意有限項(xiàng)（方程的數(shù)值解），特殊情形能得到序列的通項(xiàng)公式。定義含有序列的任意項(xiàng)且含有其差分的方程稱為差分方程。稱序列的一個(gè)或幾個(gè)已知項(xiàng)為方程的初始條件。定義差分方程的一個(gè)

5、解析解是指序列的一個(gè)通項(xiàng)公式，把它代入差分方程，就得到一個(gè)恒等式。若解中不含任意常數(shù)，稱這樣的解為方程的特解，若解中含有任意常數(shù)，稱這樣的解為方程的通解。二、差分方程的建立例1某種真菌培養(yǎng)物的增長(zhǎng)，從實(shí)驗(yàn)中采集到如下數(shù)據(jù)：時(shí)間（小時(shí)）真菌生物量pn真菌的變化?pn09.65.8115.49.2224.614.7339.323.6463.037.75100.7建立方程例2某人在銀行貸款，打算每月還款200元。假定貸款年利率為12%（月利率為1%），設(shè)為第個(gè)月開(kāi)始時(shí)的欠款，建立還款模型。（一階線性常系數(shù)非齊次差分方程

6、）MATHEMATICA貸款分別為5000，20000，25000的還款情況比較例3冰箱冷藏室的溫度調(diào)節(jié)在50C。飲料放在冷藏室后每分鐘溫度的變化與冰箱溫度和飲料溫度的差成正比，通過(guò)實(shí)驗(yàn)知比例系數(shù)約為0.008。設(shè)飲料放入冷藏室n分鐘后為tn，求其溫度變化遵循的差分方程。例4Fibonaccii問(wèn)題?？紤]家兔的繁殖，假定現(xiàn)有一對(duì)幼兔（一雌一雄），在它們成長(zhǎng)成一對(duì)成兔后每月生一對(duì)幼兔，而每對(duì)幼兔在一個(gè)月后變成成兔。如果一代一代繁殖下去，問(wèn)在n個(gè)月后將有多少對(duì)家兔？第0個(gè)月第1個(gè)月第2個(gè)月第3個(gè)月第4個(gè)月11235—

7、幼兔—成兔第n個(gè)月家兔的對(duì)數(shù)成兔對(duì)數(shù)幼兔對(duì)數(shù)第n+1個(gè)月家兔的對(duì)數(shù)成兔對(duì)數(shù)幼兔對(duì)數(shù)Fibonaccii數(shù)列例5硬幣噴泉問(wèn)題（n個(gè)硬幣的一種多行排列）。第一行是k個(gè)硬幣兩兩相鄰，任何更高行的每個(gè)硬幣恰好與其下面一行的兩個(gè)硬幣接觸，稱其為（n,k）—噴泉。兩個(gè)（17，8）—噴泉噴泉塊：每一行的硬幣鄰接問(wèn)題有多少個(gè)噴泉塊它的第一行恰好是k個(gè)硬幣？噴泉塊非噴泉塊遞推公式一般情形三、差分方程的求解一階線性方程一階線性差分方程對(duì)應(yīng)齊次方程齊次方程（2）的通解為設(shè)為常數(shù)，方程（1）有常值解，則此時(shí)，方程（1）有通解（特解）二階

8、線性方程二階線性齊次差分方程設(shè)滿足方程（3），則（特征方程）則得通解1）若方程（4）有兩個(gè)不同的實(shí)根和，（其中為任意常數(shù)）2）若方程（4）有兩相同的實(shí)根，則得通解（其中為任意常數(shù)）3）若方程（4）有兩復(fù)數(shù)根，則得通解（其中為任意常數(shù)）例1求解（一階非線性差分方程）解得（原方程的解）例2求解Fibonaccii方程對(duì)應(yīng)的特征方程為，解得因此方程的通解為試用Mathemati