《微分方程應(yīng)用》PPT課件

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1、第六節(jié)微分方程應(yīng)用利用微分方程求實(shí)際問(wèn)題中未知函數(shù)的一般步驟是：(1)分析問(wèn)題，設(shè)所求未知函數(shù)，建立微分方程，確定初始條件；(2)求出微分方程的通解；(3)根據(jù)初始條件確定通解中的任意常數(shù)，求出微分方程相應(yīng)的特解．本節(jié)將通過(guò)一些實(shí)例說(shuō)明微分方程的應(yīng)用．例1一曲線通過(guò)點(diǎn)(2,3)，該曲線上任意一點(diǎn)Ｐ(x,y)處的法線與x軸的焦點(diǎn)為Ｑ，且線段PＱ恰被y軸平分，求此曲線的方程．解１）列方程：設(shè)所求曲線方程為y＝y(tǒng)(x)，則它在Ｐ(x,y)處的法線方程為：P(x,y)y=y(x)y0圖1即得曲線應(yīng)滿足微分方程:令Ｙ=０，得法線在x軸上的截距為：由題設(shè)條件得:由

2、于曲線過(guò)點(diǎn)(2,3)，故得初值條件:２）求通解，將方程（１）分離變量，得：將初值條件（２）代入通解，得：將上式兩端積分，得通解：３）求特解則所求曲線方程為：例2設(shè)降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)(t=0)速度為零。求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。解設(shè)降落傘下落速度為v=v(t),降落傘在空中下落時(shí)，同時(shí)受到重力P與阻力R的作用(圖2)，重力大小為mg，方向與v一致；阻力大小為kv(k為比例系數(shù))，方向與相反，圖2根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律F=ma(其中a為加速度)，得函數(shù)v=v(t)的微分方程為從而降落傘所受外力為(3

3、)由題意，初始條件為.因?yàn)榉匠?3)是可分離變量的．這就是方程(3)的通解．于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為也就是說(shuō)，跳傘后開(kāi)始階段是加速運(yùn)動(dòng)，但以后逐漸接近于等速運(yùn)動(dòng)．分離變量后得兩邊積分得即或(4)將初始條件代入(4)式，得(5)由(5)式可以看出，隨著時(shí)間的增大，速度逐漸接近于常數(shù),且不會(huì)超過(guò),例3一曲線過(guò)點(diǎn)(３,４),在該曲線上任意點(diǎn)處的切線在y軸上的截距恰等于原點(diǎn)(0,0)到該點(diǎn)的距離.解1)列方程設(shè)所求曲線為y=y(x),則它在任意一點(diǎn)(x,y)處的切線方程為:令X=0,得切線在y軸上的截距為由題設(shè)條件得于是兩端積分由于曲線過(guò)點(diǎn)(3,4

4、),故得初值條件2)求通解方程(6)是齊次方程,另y=u(x)x,則即得通解：(3)求特解將初值條件(７)代入通解,解得c=9,則曲線方程為例4已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比．設(shè)有一瓶熱水，水溫原來(lái)是100℃，空氣的溫度是20℃，經(jīng)過(guò)20小時(shí)以后，瓶?jī)?nèi)水溫降到60℃，求瓶?jī)?nèi)水溫的變化規(guī)律．解可以認(rèn)為在水的冷卻過(guò)程中，空氣的溫度是不變的．由題意，得其中k是比例系數(shù)(k>0)．由于是單調(diào)減少的，即設(shè)瓶?jī)?nèi)水的溫度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系為，則水的冷卻速率為,(1)所以(1)式右邊前面應(yīng)加“負(fù)號(hào)”．初始條件為．對(duì)(1)式分離變量，得兩邊

5、積分得即于是方程(1)的特解為把初始條件代入上式，求得C=80，其中比例系數(shù)k可用問(wèn)題所給的另一條件來(lái)確定，即解得因此瓶?jī)?nèi)水溫與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為例5設(shè)質(zhì)量為m的物體在沖擊力的作用下得到初速度v0在一水面上滑動(dòng),作用于物體的摩擦力為-km(k為常數(shù)),求該物體的運(yùn)動(dòng)方程,并問(wèn)物體能滑多遠(yuǎn)?解設(shè)所求物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=s(t),由牛頓第二定律及題意得二階微分方程初始條件:將初始條件從而所求運(yùn)動(dòng)方程為微分方程的通解為:例6試求由微分方程所確定的一條積分曲線y=y(x),使它在點(diǎn)(0,1)處與直線y-3x=1相切.解由題意知,所求積分曲線y=y(x)滿足二階常

6、系數(shù)齊次線性微分方程,初值條件為.將初值條件:故所求積分曲線方程為例7解設(shè)在時(shí)刻t時(shí)鏈條垂下s(單位:m),鏈條的線密度(單位長(zhǎng)度的質(zhì)量)為ρ,則鏈條所受的外力大小等于垂下部分鏈條所受的重力ρsg(g為重力加速度).根據(jù)牛頓第二定律F=ma,可得微分方程為長(zhǎng)為6m的鏈條自高6m的桌上無(wú)摩擦地向下滑動(dòng),假定在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí),鏈條自桌上垂下部分已有1m長(zhǎng),試問(wèn)需經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間鏈條才全部滑過(guò)桌子?按題意，在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，鏈條自桌上垂下的部分已有１m長(zhǎng)，且無(wú)初速度，所以有初值條件：方程（１）是二階常系數(shù)齊次線性方程，其特征方程為故得通解為將（３）式對(duì)t求導(dǎo)，得：把初值條

7、件（２）代入（３）及（４）式，得于是所求滿足初值條件的特解為求鏈條全部滑過(guò)桌子所需的時(shí)間t．當(dāng)鏈條全部滑過(guò)桌子時(shí)，s＝６，代入（５）式得：由此可解得這就是鏈條全部滑過(guò)桌子所用的時(shí)間，其中g(shù)＝９．８m/s２例8在如圖5.3所示的電路中，先將開(kāi)關(guān)K撥向A，使電容充電，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后再將開(kāi)關(guān)撥向B．設(shè)開(kāi)關(guān)K撥向A的時(shí)間t=0,求時(shí)回路中的電流i(t).已知E=20伏，C=0.5法拉，L=1.6亨利，R=4.8歐姆；且圖5.3解在電路R-L-C中各元件的電壓降分別為根據(jù)回路電壓定律，得將上述各式代入，得在上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，將R=4.8，L=1.6，C=0.5

8、代入，得因此得即(8)方程(8)的特征方程為特征根為為求得滿足初始條件的特解，求導(dǎo)數(shù)得圖5.4