《微分方程及其應(yīng)用》PPT課件

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1、第六章微分方程及其應(yīng)用6.1常微分方程的基本概念與分離變量法6.2一階線性微分方程6.3二階常系數(shù)線性微分方程6.4常微分在經(jīng)濟中應(yīng)用6.1常微分方程的基本概念與分離變量法6.1.1微分方程的基本概念1.微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程。注：在微分方程中，如果未知函數(shù)是一元函數(shù)，則方程稱為常微分方程，簡稱微分方程。2.微分方程的階微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階.一般地，n階微分方程的一般形式為：3.微分方程的解、通解（1）若某函數(shù)代入微分方程后，能使該方程兩端恒等，則這個

2、函數(shù)為該微分方程的解。如y=x2+2是方程（1）的解,顯然y=x2+C也是方程（1）的解.（2）如果微分方程的解中所含獨立常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)，這樣的解稱為微分方程的通解.如y=x2+C是方程（1）的通解.4．微分方程的初始條件和特解（1）確定通解中任意常數(shù)值的附加條件叫做初始條件；一般地一階微分方程的初始條件為：二階微分方程的初始條件為：（2）由初始條件確定了通解中任意常數(shù)后所得到的解，稱為微分方程的特解。如y=x2+2是方程（1）的特解.中含有一個任意常數(shù)C，而所給方程又是一階微分方程，是所給方程的通解

3、.中含有兩個任意常數(shù)，而所給方程又是二階的，6.1.2分離變量法1．定義形如的方程稱為可分離變量的方程.特點--等式右端可以分解成兩個函數(shù)之積，其中一個只是x的函數(shù)，另一個只是y的函數(shù)2．解法設(shè)當(dāng)g(y)≠0時，兩端積分得通解注(1)當(dāng)g(y)=0時，設(shè)其根為y=α，則y=α也是原方程的解；解分離變量，得ydy=-xdx,說明：在解微分方程時，如果得到一個含對數(shù)的等式，為了利用對數(shù)的性質(zhì)將結(jié)果進一步化簡，可將任意常數(shù)寫成klnC的形式，k的值可根據(jù)實際情況來確定，如例2中取k=1/2.例5設(shè)降落傘從跳傘臺下落，所受

4、空氣阻力與速度成正比，降落傘離開塔頂(t=0)時的速度為零。求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系.解設(shè)降落傘下落速度為v(t)時傘所受空氣阻力為-k（負號表示阻力與運動方向相反（k為常數(shù)）傘在下降過程中還受重力P=mg作用，由牛頓第二定律得于是所給問題歸結(jié)為求解初值問題由此可見，隨著t的增大，速度趨于常數(shù)mg/k，但不會超過mg/k，這說明跳傘后，開始階段是加速運動，以后逐漸趨于勻速運動.6.2一階線性微分方程6.2.1一階線性微分方程1．定義：形如的方程，稱為一階線性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的連續(xù)函數(shù),

5、Q(x)稱為自由項．特點：方程中的未知函數(shù)y及導(dǎo)數(shù)都是一次的．2．分類若Q(x)=0,即稱為一階線性齊次微分方程．若Q(x)≠0,則方程(1)稱為一階線性非齊次微分方程．3．一階線性齊次方程的解法類型：可分離變量的微分方程．其中C為任意常數(shù).4．一階線性非齊次方程的解法用常數(shù)變易法．在方程（1）所對應(yīng)的齊次方程的通解的基礎(chǔ)上進行變易,假設(shè)方程（1）有如下形式的解：其中C（x）為待定函數(shù)．于是方程(1)的通解為：（4）式稱為一階線性非齊次方程（1）的通解公式．上述求解方法稱為常數(shù)變易法．用常數(shù)變易法求一階線性非齊次方

6、程的通解的一般步驟為：(1)先求出非齊次線性方程所對應(yīng)的齊次方程的通解；(2)根據(jù)所求出的齊次方程的通解設(shè)出非齊次線性方程的解將所求出的齊次方程的通解中的任意常數(shù)C改為待定函數(shù)C(x)即可；(3)將所設(shè)解帶入非齊次線性方程，解出C(x)，并寫出非齊次線性方程的通解．①①式對應(yīng)的齊次方程為②將方程②分離變量得兩邊積分得即所以齊次方程②的通解為：③將上述通解中的任意常數(shù)C換成待定函數(shù)C(x)，將其待入方程①得將C(x)代入式③得原方程的通解：例3　在串聯(lián)電路中，設(shè)有電阻R，電感L和交流電動勢E=E0sinωt，在時刻t

7、=0時接通電路，求電流i與時間t的關(guān)系（E0,ω為常數(shù)）．解　設(shè)任一時刻t的電流為i．我們知道，電流在電阻R上產(chǎn)生一個電壓降uR=Ri，由回路電壓定律知道，閉合電路中電動勢等于電壓降之和，即在電感L上產(chǎn)生的電壓降是①式①為一階非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中利用一階非齊次線性方程之求解公式得通解：6.2.2可降階的高階微分方程特點：方程y(n)=f(x)的右端僅含有自變量．解法：將兩端分別積分一次，得到一個n-1階微分方程;再積分一次，得到n-2階微分方程，連續(xù)積分n次，便可得到該方程的通解．解將所給方程連續(xù)積分三次

8、，得特點：方程右端不含未知函數(shù)y解法：令y’=t，則y″=t’，于是原方程可化為以t為未知函數(shù)的一階微分方程t’=f(x,t)．解令y’=t，則y″=t’，代入原方程得分離變量得兩邊積分得即再積分得例6如圖，位于坐標(biāo)原點的我艦向位于x軸上A(1,0)點處的敵艦發(fā)射制導(dǎo)魚雷，魚雷始終對準(zhǔn)敵艦．設(shè)敵艦以常速v0沿平行于y軸的直線行駛，又設(shè)魚雷的速率為2v0，求魚