《球函數(shù)及其性質(zhì)》PPT課件

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1、第三章球函數(shù)及其性質(zhì)3.1球坐標(biāo)中拉普拉斯方程的分離變量解法長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院張永志拉普拉斯方程(一)球坐標(biāo)中的拉普拉斯算子利用該關(guān)系式直接將直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯算子化算在球坐標(biāo)系中，運(yùn)算比較麻煩，這里我們利用來(lái)推導(dǎo)拉普斯算子在球坐標(biāo)中的表達(dá)式。如圖3-1所示，取一微六面體ABCDEFGH，球坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系是將用于該微六面體，得其中r為微六面體的體積,i=1,2,…,6表示微六面體的6個(gè)面。表示在第i個(gè)面上的值，?i為第i個(gè)面的面積。在AEHD上，n與p增加的方向反向，所以有該面的面積為，所以所以有，在AEFB上，n的方向與?

2、增加的方向相反，由于沿?增加方向的線元長(zhǎng)度為?d?，所以，同理有，所以有，在ABCD上，n的方向與?增加的方向相反，由于沿?增加方向的線元長(zhǎng)度為?sin?d?，所以該面的面積為?d?d?，所以得綜合以上幾式，得拉普拉斯算子在球坐標(biāo)中的表達(dá)式：(二)分離變量法令上式等于零，然后兩邊同乘以?平方，得球坐標(biāo)中的拉普拉斯方程分離變量法就是將方程的解分解為依賴于不同自變量的函數(shù)之積。令得兩邊同除以移項(xiàng)得：等號(hào)兩邊必然等于同一常數(shù)?，所以進(jìn)一步對(duì)第二個(gè)方程作變量分離，令有：移項(xiàng)，并令兩邊同等于?，整理得：令將上式進(jìn)行改化，得連帶勒讓德方程：當(dāng)?=0

3、時(shí)簡(jiǎn)化為稱為勒讓德方程。3.2勒讓得函數(shù)(一)勒讓得方程的級(jí)數(shù)解勒讓得函數(shù)是勒讓得方程在[一1,1]中有界條件下的特征函數(shù)。勒讓得方程還可以寫成令其級(jí)數(shù)解為得將第一項(xiàng)更換指標(biāo)，得顯然，要使原級(jí)數(shù)為勒讓得方程的解，上式中x'的系數(shù)必須等于零，即得遞推公式得到兩個(gè)解(二)級(jí)數(shù)解的收斂性對(duì)于上式中的兩個(gè)級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，我們可以將看成是x平方的幕級(jí)數(shù)，將看成是x與?-x2的幕級(jí)數(shù)之積。對(duì)于這兩個(gè)幕級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，由于它們具有相同的遞推公式，收斂半徑也必然相等，有：就是說(shuō)，當(dāng)x在(-1,1)中時(shí)，前面的兩個(gè)級(jí)數(shù)解都是收教的，表明這兩個(gè)解都有界。當(dāng)x=士1時(shí)，兩個(gè)級(jí)

4、數(shù)解均無(wú)界。(三)勒讓得函數(shù)為了解決方程的兩個(gè)幕級(jí)數(shù)解在(-1,1)中有界而在x=士1時(shí)均無(wú)界的矛盾，令?的值為n(n+1)，其中n為大于等于零的整數(shù)，則系數(shù)的遞推公式變?yōu)?由這個(gè)遞推公式,使那兩個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)中有一個(gè)變?yōu)槎囗?xiàng)式。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),變?yōu)槎囗?xiàng)式，仍為無(wú)窮級(jí)數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，仍為無(wú)窮級(jí)數(shù)，變?yōu)槎囗?xiàng)式。兩個(gè)多項(xiàng)式都在[一1,1]中有界，兩個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)則都在(一1,1)中有界，在x=士1時(shí)無(wú)界。因而勒讓得方程在[一1,1]中有界條件下的特征值是n(n十1)，對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為相應(yīng)的多項(xiàng)式。我們把上述多項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)規(guī)定為此時(shí)該多項(xiàng)式稱為

5、n階勒讓得函數(shù)，并且表示。在上述遞推公式中令i=n-2，可以得到：以此類推，可以得到：，….歸納可以得到:因此，得到勒讓德函數(shù)的具體表達(dá)式：(四)羅巨格公式勒讓得函數(shù)的另一個(gè)表達(dá)形式是稱為羅巨格公式。3.3連帶勒讓得函數(shù)(一)連帶勒讓得方程與勒讓得方程的關(guān)系連帶勒讓得函數(shù)是連帶勒讓得方程在【-1,1】中有界條件下的特征函數(shù)。還可以寫成：做變量代換，可以求得：將前三式代入連帶勒讓德方程，整理得：求導(dǎo)并整理得:得：可見(jiàn)，連帶勒讓得方程兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解可由勒讓得方程兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解確定。(二)連帶勒讓得方程的級(jí)數(shù)解由上式可以求出連帶勒讓得方程兩個(gè)

6、線性無(wú)關(guān)的解，(三)級(jí)數(shù)解的收斂性當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),將上式中的求和指標(biāo)i換成i+K/2，得當(dāng)i足夠大時(shí)，考慮到B1（x）中的級(jí)數(shù)為x2的級(jí)數(shù)，B2（x）中的級(jí)數(shù)為x與一個(gè)x2的級(jí)數(shù)之積，所以這兩上級(jí)數(shù)均可被當(dāng)作正項(xiàng)級(jí)數(shù)處理，由于級(jí)數(shù)的前面有限項(xiàng)并不影響級(jí)數(shù)的收斂性，所以只要分別無(wú)界，B1,B2也無(wú)界。可以證明，當(dāng)x趨于士1時(shí)，y1(x)和y2(x)分別趨于無(wú)窮，也就是說(shuō)，y1(x)和y2(x)在x=士1時(shí)無(wú)界，因而B1(x)和B2(x)在x=士1時(shí)無(wú)界。(四)連帶勒讓得函數(shù)為了得到[1,1]中的有界解，我們?nèi)匀蝗=n(n+1)，其中n為大于

7、等于零的整數(shù)，此時(shí)顯然，若n為偶數(shù)，則B1(x)中的無(wú)窮級(jí)數(shù)變成多項(xiàng)式，B2(x)中的無(wú)窮級(jí)數(shù)保持為無(wú)窮級(jí)數(shù);若n為奇數(shù)，則B1(x)中的無(wú)窮級(jí)數(shù)保持為無(wú)窮級(jí)數(shù)，B2(x)中的無(wú)窮級(jí)數(shù)變成多項(xiàng)式。這兩個(gè)多項(xiàng)式都在[一1,1]中有界，因而由它們得到的B1(x)或B2(x)也有界。則連帶勒讓得方程在[-1,1]中的有界解為將Pn的表達(dá)式代入，得得經(jīng)度方向方程的求解3.4球函數(shù)在第一節(jié)中，我們將球坐標(biāo)中的拉普拉斯方程的解分解成了三個(gè)函數(shù)的積，并解出：最后，我們來(lái)求解當(dāng)?趨于零時(shí)，。所以，適用于研究?jī)?nèi)部有界的調(diào)和函數(shù)。，適用于研究外部有界的調(diào)和函數(shù)

8、。由分離變童法求得的拉普拉斯方程最一般的解為所有可能的乘積的線性組合。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在某一閉合曲面的內(nèi)部，則在該曲面內(nèi)部拉普拉斯方程分離變量有限解的一般形式為習(xí)題1證明