專升本高數(shù)--第一章極限與連續(xù)

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1、第一章極限和連續(xù)（一）數(shù)列的極限1.數(shù)列單調數(shù)列：有界數(shù)列：§1.1極限2.數(shù)列的極限如果當n無限增大時,xn無限地接近于常數(shù)a,那末稱a為數(shù)列{xn}的極限。表示n很大時，xn幾乎都凝聚在點a的近旁。數(shù)列極限的幾何解釋有極限的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，反之稱為發(fā)散數(shù)列。()a-?n>Na+?a?定理2（有界性）收斂數(shù)列必有界(??())AB(二)收斂數(shù)列的性質定理1（唯一性）若數(shù)列{xn}收斂，則其極限值唯一。0??a()極限存在準則準則1.單調有界數(shù)列必有極限。有界是數(shù)列收斂的必要條件，單調有界是數(shù)列收斂的充分條

2、件。極限運算法則（三）函數(shù)的極限1.當x→∞時函數(shù)的極限(1)定義對于函數(shù)f(x)，如果當x→∞時，f(x)無限趨近于常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當x→∞時的極限，記為：(3)定義對于函數(shù)f(x)，如果當x→-∞時，f(x)無限趨近于常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當x→-∞時的極限，記為：(2)定義對于函數(shù)f(x)，如果當x→+∞時，f(x)無限趨近于常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當x→+∞時的極限，記為：無極限舉例：2.當x→x0時函數(shù)的極限(1)定義對于函數(shù)f(x)，如果當x無限地趨近于x0時，函數(shù)f(x)無

3、限地趨近于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當x→x0時的極限，記為：(3)定義對于函數(shù)f(x)，如果當x從x0右邊無限地趨近于x0時，函數(shù)f(x)無限地趨近于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當x→x0時的右極限，記為：(2)定義對于函數(shù)f(x)，如果當x從x0左邊無限地趨近于x0時，函數(shù)f(x)無限地趨近于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當x→x0時的左極限，記為：=1?無極限舉例：在討論分段函數(shù)的分割點的極限時，一定要考慮左、右極限。(四)函數(shù)極限的性質極限運算法則“0”是作為無窮小的唯一的常數(shù)。(五)無

4、窮小(量)和(無窮大量)1.無窮小(量)定義：極限為零的數(shù)列和函數(shù)稱為無窮小。定義：絕對值無限增大的數(shù)列或函數(shù)稱為無窮大。2.無窮大3.無窮小與無窮大的關系定理2.設?為無窮小，u有界，則?u也是無窮小。推論1.常數(shù)乘以無窮小仍是無窮小。推論2.無窮小乘以無窮小仍是無窮小。推論.有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小。有限個無窮小的乘積仍是無窮小。定理1.設?和?為無窮小，則???也是無窮小4.無窮小(量)的基本性質1.兩個重要極限(六)兩個重要極限兩個無窮小的商實際反映了在變化過程中趨于零的速度快慢程度。為此引入定

5、義兩個無窮小的代數(shù)和、積仍為無窮小，那么兩個無窮小的商會是什么呢？2.無窮小的比較3.無窮小的主部４.等價無窮小的代換定理當x?0時，常見的等價無窮小§1.2函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)的三個要素：(一)函數(shù)連續(xù)的概念定義1設函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內有定義,如果當自變量增量Δx趨于零時，對應的函數(shù)增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)也趨于零，那末稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)。f(x)在x0點處有定義、有極限、極限值等于函數(shù)值。1.函數(shù)在點x0處連續(xù)定理1.函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)的充要條件是：函數(shù)f(x)在點x

6、0處既左連續(xù)又右連續(xù)。左、右連續(xù)如果f(x)在(a,b)內任意一點連續(xù)，則稱f(x)在(a,b)上連續(xù)，或稱f(x)為(a,b)上的連續(xù)函數(shù)。如果f(x)在(a,b)上連續(xù)，且在x=a處右連續(xù)，在x=b處左連續(xù)，則稱f(x)在[a,b]上連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)3.函數(shù)的間斷點間斷點的常見類型如果函數(shù)f(x)在x0處不連續(xù)(即連續(xù)的三個要素中有一個不滿足)，那末稱f(x)在x0處間斷。無窮間斷點震蕩間斷點左、右極限均存在的間斷點,稱為第一類間斷點，其余的間斷點,稱為第二類間斷點。跳躍間斷點可去間斷

7、點(二)函數(shù)在一點處連續(xù)的性質定理4.如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上嚴格單調增(或降)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)x=?(y)在對應的區(qū)間上也嚴格單調增(或降)且連續(xù)。推論：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界函數(shù)。定理5.(最大值、最小值定理)(三)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質結論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的。閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)至少取得最大值，最小值各一次。定理6.(介值定理)推論(零值定理)如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0,那末在開區(qū)間(a,b)內至少存在一點?，使得f(?)=0(a

8、。閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)可取得介于最值之間的任意值。