專升本高數(shù)二概念第一章函數(shù)、極限和連續(xù)

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1、第一章函數(shù)、極限和連續(xù)§1.1函數(shù)一、主要內(nèi)容㈠函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義:y=f(x),x∈D定義域:D(f),值域:Z(f).2.分段函數(shù):3.隱函數(shù):F(x,y)=04.反函數(shù):y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函數(shù):y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是嚴格單調(diào)增加(或減少)的；則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是嚴格單調(diào)增加(或減少)的。㈡函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的單調(diào)性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D當x1＜x2時,若f(x1)≤f(x2),則稱f(x)

2、在D內(nèi)單調(diào)增加()；若f(x1)≥f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少()；若f(x1)＜f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴格單調(diào)增加()；若f(x1)＞f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴格單調(diào)減少()。392.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點對稱偶函數(shù)：f(-x)=f(x)奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)3.函數(shù)的周期性：周期函數(shù)：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正數(shù)4.函數(shù)的有界性：

3、f(x)

4、≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)：y=c，(c為常數(shù))2.冪函數(shù)：y=xn,(n為實數(shù))3.指數(shù)函數(shù)：y=ax,

5、(a＞0、a≠1)4.對數(shù)函數(shù)：y=logax,(a＞0、a≠1)5.三角函數(shù)：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6.反三角函數(shù)：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)：y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈X2.初等函數(shù):39由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)§1.2極限一、主要內(nèi)容㈠極限的概念1.數(shù)列的極限:稱數(shù)列以常數(shù)A為極限;或稱數(shù)列收斂于A.定理:

6、若的極限存在必定有界.2.函數(shù)的極限：⑴當時，的極限：⑵當時，的極限：左極限：右極限：39⑶函數(shù)極限存的充要條件：定理：㈡無窮大量和無窮小量1．無窮大量：稱在該變化過程中為無窮大量。X再某個變化過程是指：2．無窮小量：稱在該變化過程中為無窮小量。3．無窮大量與無窮小量的關(guān)系：定理：4．無窮小量的比較：⑴若,則稱β是比α較高階的無窮小量；⑵若（c為常數(shù)），則稱β與α同階的無窮小量；⑶若，則稱β與α是等價的無窮小量，記作：β～α；39⑷若,則稱β是比α較低階的無窮小量。定理：若：則：㈢兩面夾定理1．數(shù)列極限存在的判定準則：設(shè)：（n=1、2、3…）且

7、：則：2．函數(shù)極限存在的判定準則：設(shè)：對于點x0的某個鄰域內(nèi)的一切點（點x0除外）有：且：則：39㈣極限的運算規(guī)則若：則：①②③推論：①②③㈤兩個重要極限1．或2．§1.3連續(xù)一、主要內(nèi)容㈠函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)在處連續(xù)：在的鄰域內(nèi)有定義，391o2o左連續(xù)：右連續(xù)：1.函數(shù)在處連續(xù)的必要條件：定理：在處連續(xù)在處極限存在2.函數(shù)在處連續(xù)的充要條件：定理：3.函數(shù)在上連續(xù)：在上每一點都連續(xù)。在端點和連續(xù)是指：左端點右連續(xù)；右端點左連續(xù)。a+0b-x4.函數(shù)的間斷點：39若在處不連續(xù)，則為的間斷點。間斷點有三種情況：1o在處無定義；2o不存在；3o在

8、處有定義，且存在，但。兩類間斷點的判斷：1o第一類間斷點：特點：和都存在。可去間斷點：存在，但，或在處無定義。2o第二類間斷點：特點：和至少有一個為∞，或振蕩不存在。39無窮間斷點：和至少有一個為∞㈡函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)1.連續(xù)函數(shù)的四則運算：設(shè)，1o2o3o2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：則：3.反函數(shù)的連續(xù)性：㈢函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì)391.最大值與最小值定理：在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。yy+MMf(x)f(x)0abxm-M0abx1.有界定理：在上連續(xù)在上一定有界。3.介值定理：在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點，使得：，其中：39yyMf(x)Cf(

9、x)0aξbxm0aξ1ξ2bx推論：在上連續(xù)，且與異號在內(nèi)至少存在一點，使得：。4.初等函數(shù)的連續(xù)性：初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章一元函數(shù)微分學(xué)§2.1導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容39㈠導(dǎo)數(shù)的概念1．導(dǎo)數(shù)：在的某個鄰域內(nèi)有定義，2．左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)：定理：在的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在；則：（或：）3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件：39定理：在處可導(dǎo)在處連續(xù)4.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：定理：存在，且存在。5.導(dǎo)函數(shù)：在內(nèi)處處可導(dǎo)。y6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)：是曲線上點處切線的斜率。ox0x㈡求導(dǎo)法則1.基本求導(dǎo)公式：2.導(dǎo)數(shù)的四則運算：1o2

10、o3o3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，或39☆注意與的區(qū)別：表示復(fù)合函數(shù)對自變量求導(dǎo)；表示復(fù)合函數(shù)對中間變量求導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的