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《函數(shù)展成冪級數(shù)(III)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、無窮級數(shù)第四節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)第四節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)前面研究的是冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù),現(xiàn)在反過來,某個函數(shù)是否可以在某個區(qū)間內(nèi)用冪級數(shù)表示一.泰勒級數(shù)第三章研究過泰勒公式:其中f(x)在的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù).余項此時,f(x)可以用前n+1項近似表示,誤差為由此引入泰勒級數(shù):1.定義若f(x)在的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在的泰勒級數(shù)泰勒系數(shù)麥克勞林級數(shù)2.泰勒定理:若f(x)在的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),(由泰勒公式很容易得出結(jié)論,證明略)注:(1)則f(x)在的泰勒級數(shù)在該鄰域內(nèi)收斂于f(x)若f(x)在的泰勒級數(shù)收斂
2、于f(x),即泰勒展開式(2)如果函數(shù)可以展開成冪級數(shù),則展開式唯一.則稱f(x)在可以展開成泰勒級數(shù)二.函數(shù)展開成冪級數(shù)主要研究函數(shù)如何展開成x的冪級數(shù).麥克勞林級數(shù)1.直接展開法(1)求出如果某階導(dǎo)數(shù)不存在,說明不能展開(2)求出(3)求出收斂半徑R(4)在(-R,R)內(nèi),如果則f(x)例將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)收斂半徑有限趨于零,因為收斂所以(循環(huán))收斂半徑所以0牛頓二項式級數(shù)注:α>－1時,展式在x=1成立;α>0時,展式在x=－1成立.2.間接展開法利用已知的基本展開式和冪級數(shù)的性質(zhì)(1).逐項積分,逐項求導(dǎo)法(2)變量替換
3、法(3)四則運算法例將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)作變量替換例將分別展開成x的及x－1的冪級數(shù)①②例將展開成x－1的冪級數(shù)練習(xí)
