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《函數(shù)展成冪級數(shù)方法探討》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第#卷第)期R?K$#:;?(@A;56"%789:/!!*;*/)<=/)*,,"/%9%>?*.7%/
2、!/;@A!8$)39%)BC@D?A8@E?F6GHI:J;K69;FIK6EG@:EI;I6DJ?7JKAL6E;M6NF6G@?LE;7LG6J@7:OA6E?ML6P6K?IF67GMD?F;MA7JG:?7G?I?N6DE6D:6E$:+;6’3-$BMA7JG:?7-I?N6DE6D:6E-L6P6K?IF67G01引言&%解：已知*&%!（-13&301）級數(shù)是進行函數(shù)研究和近似計算的重要工具，%’(%2因#&’*&!%#，只要將*&展開式中的&替換成它在數(shù)學和工程技術(shù)中有著極廣泛的應用。將一個01函數(shù)展開為冪級數(shù)是
3、級數(shù)部分最重要的運算之一。（&!%#）%&!%#&!%#展開式*&!%#"·#&，即得*%!&所以&%展開的方法一般有兩種，一是直接展開法，即先求%’(%20101各階導數(shù)，再按泰勒級數(shù)或麥克勞林級數(shù)寫出，最"&!%#"（&!%#）%（!%#）%%’"&*%&!%!·&（-13&301）后在級數(shù)收斂區(qū)間內(nèi)要證明%!!"#1$%（&）’(。二是間接%’(%2%’(%2展開法，即利用某些已知的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開!"%例"在幾何級數(shù)%!’4’4’?’4’?式和冪級數(shù)的代數(shù)運算及分析運算的性質(zhì)，推出相!(4（-!343!）中分別令4’-
4、&+-&"&&"便可得出下列函數(shù)應的展開式。用直接展開法將函數(shù)展開成冪級數(shù)，工作量大，且)（%）（&）的規(guī)律難以尋求，還要驗證余項的展開式的極限是否趨向于零，有時這樣做是比較復雜的，!%!(&’&"(&#’?’（(!）%&%’?（-!3&3!）甚至是比較困難的，為了避免對余項的討論，經(jīng)常!0&使用間接展開法，巧妙地利用已知函數(shù)的展開式和!%!(&"’&)(&*’%"%?’（(!）&’?（-!3&3!）冪級數(shù)的性質(zhì)，常能化難為易，簡化計算，收到事半!0&"功倍的效果。本文就間接展開法舉幾例，探討其解!%!’&"’&)’&*’"%題方
5、法與技巧，期望對教學有所幫助。"?’&’?（-!3&3!）!-&!通過變量代換，直接套用*&+,"%&+例#在二項展開式!###（#(!）"!%&++./,&+（!0&）這些函數(shù)的冪級（!’&）%!’#&’&’?!-&"+#（#(!）?（#(%’!）%數(shù)展開式，把所給函數(shù)展成冪級數(shù)?！?0?（-!3&3!）%+例!將&"·#&展開為&的冪級數(shù)$!!中，令#’&#’(&#’("&#’(#,#為任意實""收稿日期："22#(!2("Q吳鳳香金華職業(yè)技術(shù)學院信息工程學院副教授，#"!2!/金華市方曉華金華職業(yè)技術(shù)學院信息工程學院副教授第
6、.期吳鳳香等：函數(shù)展成冪級數(shù)方法探討.!!!!!"!數(shù)）便可得到!!"!###這些例%將函數(shù)#（!）&展開成!的冪級數(shù)-（!"!）$（!"!）%（!)!）%!!"!函數(shù)的展開式，不過在區(qū)間的端點!&’!處，展開式解法&3利用待定系數(shù)法可求得!!"!)!$是否成立，要看(的數(shù)值而定。如"&#!&’!處展#（!）&%&$"%$（!)!）（!)!）（!)!）!)!)!開式都成立。而當"&)時，!&!時展開式成立，而分析3"’!&":$（!)!）$!)!在!&)!處，則展開式不成立。應注意，寫出函數(shù)展$!"’!&":（!)!）%（!)!）
7、$開式時，一定要給出展開區(qū)間。否則，解題欠完整。!首先展開導函數(shù)，然后用逐項積分")!’!&!$（!)!）":!)!的方法求出原函數(shù)的冪級數(shù)展開式!!$"’!&":例"求函數(shù)#（!）&!*（!"!!"!）的冪級數(shù)展（!)!）$!)!開式。!’$7+$（!)!）%8解：注意到!*（+"!!"!$）,&!可知!%!&)!"$$$%!!"!$’!（!)!）（!)!）而由（!"!）"的展開式可求得&#（!）!$!%!$!&!)!（!$）"!-%（!$）$)!-%-/（!$）%"?已知+$（!)!）&)（!%"%?%%?）!!"!$$$-.
8、$-.-0$%$（)!!!,!）"$（$$)!）11（!$）$（)!）"?（$$）??！!&!"!"!$"!%"?"!$"?（)!,!,!）!)!將上式兩端從2到!逐項積分，即可得到!對上式兩端求導兩次得$’!!$（!%!!"!）&"%(2!"!$)
