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《函數(shù)展成冪級數(shù)方法探討》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第#卷第)期R?K$#$)金華職業(yè)技術(shù)學院學報"22#年!"月S6J$"22#函數(shù)展成冪級數(shù)方法探討吳鳳香方曉華【摘要】本文通過例題展示函數(shù)展開成冪級數(shù)的某些方法與技巧。關(guān)鍵詞:函數(shù)-冪級數(shù)-展開中圖分類號:.!/#$!文獻標識碼:0文章編號:!*/!(#*11("22#)2#(22)2(2#!"#$%&$$#’(’()*+,+)*’-’."+/+0’12+().3’24&(%)#’()’5’6+37+3#+$345678(9:;7850<=>:;?(@A;56"%789:/!!*;*/)<=/)*,,"/%9%>?*.7%/
2、!/;@A!8$)39%)BC@D?A8@E?F6GHI:J;K69;FIK6EG@:EI;I6DJ?7JKAL6E;M6NF6G@?LE;7LG6J@7:OA6E?ML6P6K?IF67GMD?F;MA7JG:?7G?I?N6DE6D:6E$:+;6’3-$BMA7JG:?7-I?N6DE6D:6E-L6P6K?IF67G01引言&%解:已知*&%!(-13&301)級數(shù)是進行函數(shù)研究和近似計算的重要工具,%’(%2因#&’*&!%#,只要將*&展開式中的&替換成它在數(shù)學和工程技術(shù)中有著極廣泛的應用。將一個01函數(shù)展開為冪級數(shù)是
3、級數(shù)部分最重要的運算之一。(&!%#)%&!%#&!%#展開式*&!%#"·#&,即得*%!&所以&%展開的方法一般有兩種,一是直接展開法,即先求%’(%20101各階導數(shù),再按泰勒級數(shù)或麥克勞林級數(shù)寫出,最"&!%#"(&!%#)%(!%#)%%’"&*%&!%!·&(-13&301)后在級數(shù)收斂區(qū)間內(nèi)要證明%!!"#1$%(&)’(。二是間接%’(%2%’(%2展開法,即利用某些已知的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開!"%例"在幾何級數(shù)%!’4’4’?’4’?式和冪級數(shù)的代數(shù)運算及分析運算的性質(zhì),推出相!(4(-!343!)中分別令4’-
4、&+-&"&&"便可得出下列函數(shù)應的展開式。用直接展開法將函數(shù)展開成冪級數(shù),工作量大,且)(%)(&)的規(guī)律難以尋求,還要驗證余項的展開式的極限是否趨向于零,有時這樣做是比較復雜的,!%!(&’&"(’?’((!)%&%’?(-!3&3!)甚至是比較困難的,為了避免對余項的討論,經(jīng)常!0&使用間接展開法,巧妙地利用已知函數(shù)的展開式和!%!(&"’&)(&*’%"%?’((!)&’?(-!3&3!)冪級數(shù)的性質(zhì),常能化難為易,簡化計算,收到事半!0&"功倍的效果。本文就間接展開法舉幾例,探討其解!%!’&"’&)’&*’"%題方
5、法與技巧,期望對教學有所幫助。"?’&’?(-!3&3!)!-&!通過變量代換,直接套用*&+,"%&+例#在二項展開式!###(#(!)"!%&++./,&+(!0&)這些函數(shù)的冪級(!’&)%!’#&’&’?!-&"+#(#(!)?(#(%’!)%數(shù)展開式,把所給函數(shù)展成冪級數(shù)?!?0?(-!3&3!)%+例!將&"·#&展開為&的冪級數(shù)$!!中,令#’’(’("’(#,#為任意實""收稿日期:"22#(!2("Q吳鳳香金華職業(yè)技術(shù)學院信息工程學院副教授,#"!2!/金華市方曉華金華職業(yè)技術(shù)學院信息工程學院副教授第
6、.期吳鳳香等:函數(shù)展成冪級數(shù)方法探討.!!!!!"!數(shù))便可得到!!"!###這些例%將函數(shù)#(!)&展開成!的冪級數(shù)-(!"!)$(!"!)%(!)!)%!!"!函數(shù)的展開式,不過在區(qū)間的端點!&’!處,展開式解法&3利用待定系數(shù)法可求得!!"!)!$是否成立,要看(的數(shù)值而定。如"!&’!處展#(!)&%&$"%$(!)!)(!)!)(!)!)!)!)!開式都成立。而當"&)時,!&!時展開式成立,而分析3"’!&":$(!)!)$!)!在!&)!處,則展開式不成立。應注意,寫出函數(shù)展$!"’!&":(!)!)%(!)!)
7、$開式時,一定要給出展開區(qū)間。否則,解題欠完整。!首先展開導函數(shù),然后用逐項積分")!’!&!$(!)!)":!)!的方法求出原函數(shù)的冪級數(shù)展開式!!$"’!&":例"求函數(shù)#(!)&!*(!"!!"!)的冪級數(shù)展(!)!)$!)!開式。!’$7+$(!)!)%8解:注意到!*(+"!!"!$),&!可知!%!&)!"$$$%!!"!$’!(!)!)(!)!)而由(!"!)"的展開式可求得(!)!$!%!$!&!)!(!$)"!-%(!$)$)!-%-/(!$)%"?已知+$(!)!)&)(!%"%?%%?)!!"!$$$-.
8、$-.-0$%$()!!!,!)"$($$)!)11(!$)$()!)"?($$)??!!&!"!"!$"!%"?"!$"?()!,!,!)!)!將上式兩端從2到!逐項積分,即可得到!對上式兩端求導兩次得$’!!$(!%!!"!)&"%(2!"!$)