解析函數(shù)展成冪級數(shù)的方法分析論

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1、┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊伊犁師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院2014屆本科畢業(yè)論文解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法分析樊慶倉（伊犁師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院新疆伊寧835000）摘要：將解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法不一，且比較復雜。本文將從直接法和間接法這兩大方法對解析函數(shù)進行冪級數(shù)的展開并加以分析。關(guān)鍵詞：解析函數(shù)；冪級數(shù)；直接展開；間接展開。中圖分類號：O175.8一、一、引言解析函數(shù)的冪級數(shù)展開是作為一個強有力的教學工具，在整個分析學中占有舉足輕重的地位。將一個函數(shù)展開為冪

2、級數(shù)是級數(shù)部分最重要的運算之一。展開的方法可分為兩種，一是直接展開法，即先求各階導數(shù)，再按泰勒級數(shù)或麥克勞林級數(shù)寫出，最后驗證在級數(shù)收斂區(qū)間內(nèi)（x）=0。二是間接展開法，即利用某些已知的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式和冪級數(shù)的代數(shù)運算及分析運算的性質(zhì)，推出相應(yīng)的展開式。用直接展開法具有一定的缺點，即工作量大，的規(guī)律難以尋求，還要討論余項的性質(zhì)不易使用。為了避免余項的討論經(jīng)常使用間接展開法。本文通過舉例講解將函數(shù)展開成冪級數(shù)的各種方法，比較它們優(yōu)缺點，使學生在充分認識函數(shù)的冪級數(shù)展開的重要性的基礎(chǔ)上，掌握如何針對不同的函

3、數(shù)選擇最簡單快捷的方法來展開冪級數(shù)，提高學生的計算和運算能力。二、預備知識(一）、冪級數(shù)的解析性定理：冪級數(shù)n的和函數(shù)，f(z)是收斂圓內(nèi)的一個解析函數(shù)，且其各階導數(shù)為：……，其中，p為自然數(shù)，…（二）、解析函數(shù)的泰勒展開泰勒（Taylor)展開定理：設(shè)f(z)在區(qū)域:內(nèi)解析，則在內(nèi)f(z)可展為泰勒級數(shù)：，，其中，第9頁共8頁┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊伊犁師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院2014屆本科畢業(yè)論文…）。且展式是唯一的。特別的，當時，級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)。（

4、三）、解析函數(shù)的洛朗展開一個函數(shù)除了可在解析點作泰勒展開外，有時還需要將它在奇點附近展開成冪級數(shù)，這是就得用洛朗展開。洛朗定理：設(shè)f(z)在以b為圓心的環(huán)形區(qū)域上單值解析，但對于環(huán)域內(nèi)的任何z點，f(z)可以用冪級數(shù)展開為,,其中，C是環(huán)域內(nèi)繞內(nèi)圓一周的任意一條閉合曲線。洛朗的展開條件也可以放寬為f(z)在區(qū)域內(nèi)單值解析。三、冪級數(shù)展開的方法（一)、直接展開法：直接法就是按照泰勒定理和洛朗定理中所給的冪級數(shù)展開的公式，直接將函數(shù)展開.例1.求在點處的泰勒展開式.解：用公式求出……；；；………得例2.在0<

5、z

6、

7、<+∞內(nèi)，求的洛朗展式．解：在復平面上除點在z0=0外，發(fā)現(xiàn)處處解析，所以f(z)在圓環(huán)域0<

8、z

9、<+第9頁共8頁┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊伊犁師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院2014屆本科畢業(yè)論文∞內(nèi)解析．取c為圓周，則（n=0，±1，±2，…）而當時，在上解析，；當時，由高階導數(shù)公式，有即于是，得（二）、間接展開法：間接展開法又分為好幾種情況，下面我們來一一列舉（1）利用已知展開法通過利用已知的一些初等函數(shù)的泰勒展開式來展開，在展開函數(shù)為冪級數(shù)時，仍然以泰勒級數(shù)為

10、基礎(chǔ)。例3：將函數(shù)展成冪級數(shù).解：已知在區(qū)間（-1,1）中，有，根據(jù)冪級數(shù)的乘法定理，是，其中于是，第9頁共8頁┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊伊犁師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院2014屆本科畢業(yè)論文…，。注：下面是一些經(jīng)常碰到的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，必須熟練的掌握：，，..（2）利用冪級數(shù)的除法運算來展開例4：函數(shù)在內(nèi)解析，求在這圓內(nèi)的泰勒展開式。解：由于在內(nèi)解析，故能展成冪級數(shù)。則，除法運算過程如下：第9頁共8頁┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊

11、┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊伊犁師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院2014屆本科畢業(yè)論文……………（3）利用冪級數(shù)的乘法運算來展開例5：求exsinx的冪級數(shù)展開。解：因為…sinx…exsinx=(+…)(…)=x++…，由于與的收斂半徑都是，所以上述冪級數(shù)展開對一切x∈(-∞,+∞)都成立。（4）利用逐項求導法對函數(shù)進行展開例6：求在的冪級數(shù)展開。解：由于，利用逐項求導，即可得到（5）利用變上限的定積分法展成冪級數(shù)例7：將函數(shù)在處展開成冪級數(shù)。第9頁共8頁┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊

12、┊┊┊┊伊犁師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院2014屆本科畢業(yè)論文解：令，顯然有，又因為.故，從而得到.（6）利用代入法展開成冪級數(shù)例8：求在的冪級數(shù)展開.解：令則，……又因為……所以由代入的…即可得到……（7）利用待定系數(shù)法展成冪級數(shù)例9：在內(nèi)，將函數(shù)在處展開成冪級數(shù)解：設(shè)，則，即有………+…比較等式兩邊的同次冪的系數(shù)可得即有第9頁共8頁┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊