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《可降階的二階微分方程(III)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、可降階的二階微分方程第六節(jié)一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程一、令因此即同理可得依次通過n次積分,可得含n個任意常數(shù)的通解.型的微分方程例1.解:型的微分方程設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、例２.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為例３.繩索僅受重力作用而下垂,解:取坐標系如圖.考察最低點A到(?:密度,s:弧長)弧段重力大小按靜力平衡條件,有故有設(shè)有一均勻,柔軟的繩索,兩端固定,問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線?任意點M(x,
2、y)弧段的受力情況:A點受水平張力HM點受切向張力T兩式相除得則得定解問題:原方程化為兩端積分得則有兩端積分得故所求繩索的形狀為懸鏈線三、型的微分方程令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解例４.求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:M:地球質(zhì)量m:物體質(zhì)量例５.靜止開始落向地面,求它落到地面時的速度和所需時間(不計空氣阻力).解:如圖所示選取坐標系.則有定解問題:代入方程得積分得一個離地面很高的物體,受地球引力的作用由兩端積分得因此有注意“－”號由于y=R時由原方程可
3、得因此落到地面(y=R)時的速度和所需時間分別為說明:若此例改為如圖所示的坐標系,解方程可得問:此時開方根號前應(yīng)取什么符號?說明道理.則定解問題為例６.解初值問題解:令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與x軸圍成的三角形面例７.二階可導,且上任一點P(x,y)作該曲線的切線及x軸的垂線,區(qū)間[0,x]上以解:于是在點P(x,y)處的切線傾角為?,滿足的方程.積記為(99考研)再利用y(0)=1得利用得兩邊對x求導,得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲
4、線方程為內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令思考與練習1.方程如何代換求解?答:令或一般說,用前者方便些.均可.有時用后者方便.例如,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?答:(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2)遇到開平方時,要根據(jù)題意確定正負號.P1651、(1)(３)(４)2、(１)(３)3、4作業(yè)速度大小為2v,方向指向A,提示:設(shè)t時刻B位于(x,y),如圖所示,則有去分母后兩邊對x求導,得又由于設(shè)物體A從點(0,1)出發(fā),以大小為常數(shù)v備用題的速度沿y軸正向運動,物
5、體B從(–1,0)出發(fā),試建立物體B的運動軌跡應(yīng)滿足的微分方程及初始條件.①機動目錄上頁下頁返回結(jié)束代入①式得所求微分方程:其初始條件為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束
