資源描述：
《曲面及空間曲線(I)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、一、幾種常見的曲面及其方程二、二次曲面三、曲線曲面與空間曲線圖7-18SxOyz由兩點間距離公式1.球面空間動點到定點的距離為定值，該動點軌跡叫球面。特別,當M0在原點時,球面方程為設軌跡上動點為定值為R，定點表示上(下)球面.定點叫球心，定值叫半徑。例1.研究方程解:配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個球面,或點,或虛軌跡.y圖7-24zxOM(x,y.z)F(x,y)=0DM1(x,y,0)zxyOa圖7-25Ozyx圖7-26xyzO圖7-2
2、7M例3.試建立頂點在原點,旋轉軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方例4.求坐標面xoz上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程.解:繞x軸旋轉繞z軸旋轉這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為二、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法常見的類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數不全為0)即用平行于坐標面的截面去截曲面，考察它們的交
3、線（叫做截痕）的形狀，然后綜合分析.1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當a＝b時為旋轉橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c時為球面.(3)截痕:為正數)2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當p=q時為繞z軸的旋轉拋物面.(p,q同號)3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z軸;相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙
4、曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面圖形4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經x或y方向的伸縮變換得到.)內容小結1.空間曲面三元方程球面旋轉曲面如,曲線繞z軸的旋轉曲面:柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.2.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:1、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線C.C三、空間曲線又
5、如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.2、空間曲線的參數方程將曲線C上的動點坐標x,y,z表示成參數t的函數:稱它為空間曲線的參數方程.例如,圓柱螺旋線的參數方程為上升高度,稱為螺距.例1.將下列曲線化為參數方程表示:解:(1)根據第一方程引入參數,(2)將第二方程變形為故所求為得所求為3、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線C的一般方程為消去z得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程又比如,所圍的立體在xoy面上的投影（區(qū)域）:求上半球面和錐面在xoy面上的投影曲線二者
6、交線所圍圓域:
