空間曲面與曲線(II)

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1、空間曲面與空間曲線1.球面2.柱面3.錐面4.旋轉(zhuǎn)曲面5.二次曲面：一、橢球面二、雙曲面三、拋物面6.空間曲線11.球面22.柱面柱面的定義：柱面的準(zhǔn)線、柱面的方向、柱面的母線柱面的方程曲線L在平面?上的射影曲線；曲線L在平面?上的射影柱面。3例1.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意z,平行z軸的直線l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標(biāo)都滿足此方程,4定義1由平行于定方向且與空間一條定曲線相交的一族平行直線所產(chǎn)生的曲面叫做柱面,定方向叫做柱面的方向,

2、定曲線叫做柱面的準(zhǔn)線,那族平行直線中的每一條直線，都叫做柱面的母線。QMPOxyzr?5?表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.z軸的橢圓柱面.?z軸的平面.?表示母線平行于(且z軸在平面上)表示母線平行于機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束6一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x軸;平行于y軸;平行于z軸;準(zhǔn)線xoz面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線xoy面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線yoz面上的曲線l2.母線機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束73.錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截口為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①方程8定義1通過一定點且與

3、定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面叫做錐面，這些直線都叫錐面的母線，那個定點叫做柱面的頂點，定曲線叫做錐面的準(zhǔn)線。94.旋轉(zhuǎn)曲面定義1一曲線?繞著定直線l旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，或稱回轉(zhuǎn)曲面。曲線?叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線l叫做旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸，簡稱軸。M1?°P0Oxyz旋轉(zhuǎn)曲面的母線?上任意點M1在旋轉(zhuǎn)時形成一個圓，這個圓也就是通過M1點且垂直于軸l10M1?°P0Oxyz的平面與旋轉(zhuǎn)曲面的交線，稱之為緯圓，或緯線。在通過旋轉(zhuǎn)軸l的平面上，以l為界的每個半平面都與旋轉(zhuǎn)曲面交成一條曲線，這條曲線在旋轉(zhuǎn)過程中都能彼此重合，稱之為旋轉(zhuǎn)曲面的經(jīng)線。來求旋轉(zhuǎn)曲面

4、的方程。11建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz面上曲線C:則有則有該點轉(zhuǎn)到12思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？13例1.求坐標(biāo)面xoz上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為14一般規(guī)律：當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線?繞此坐標(biāo)平面里的一個坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時，為了求出這樣的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線?在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其它兩個坐標(biāo)平方和方根來代替方程中的另一坐標(biāo)。例2將橢圓分別繞長軸（即x軸）與短軸（

5、即y軸）旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。15解：因為旋轉(zhuǎn)軸是x軸，同名坐標(biāo)是x，在方程中保留坐標(biāo)x不變，用代替y,得到橢圓繞長軸（即x軸）的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為叫長形旋轉(zhuǎn)橢球面。橢圓繞短軸（即y軸）旋轉(zhuǎn)曲面方程為16這叫扁形旋轉(zhuǎn)橢球面。長形旋轉(zhuǎn)橢球面扁形旋轉(zhuǎn)橢球面例3將雙曲線17繞虛軸（即z軸）旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為叫做單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。繞實軸（即y軸）旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面18雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)拋物面19例4將拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為x2+y2=2pz叫做旋轉(zhuǎn)拋物面。xyzO例5將圓繞z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：旋轉(zhuǎn)拋物面

6、20旋轉(zhuǎn)曲面方程為即或叫做環(huán)面21環(huán)面225.二次曲面用一個二次方程表示的曲面，叫做二次曲面。前面介紹的柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)曲面都是二次曲面。這里再介紹三種典型的二次曲面：一、橢球面；二、雙曲面（單葉雙曲面和雙葉雙曲面）；三、拋物面（橢圓拋物面和雙曲拋物面）。給出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，再討論它們的簡單性質(zhì)與形狀。23一、橢球面定義1在直角坐標(biāo)系下，由方程所表示的曲面稱為橢球面，或稱橢圓面，這個方程稱為橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程。其中a,b,c是任意正實數(shù)，通常a≥b≥c。由曲面的方程討論曲面的一些簡單性質(zhì)。24（1）對稱性當(dāng)(x,y,z)滿足方程時，(-x,y,z)也滿足方程。這說明，

7、若點P(x,y,z)是橢球面上的點，則點P的關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對稱點P′(-x,y,z)也在橢球面上，所以，坐標(biāo)平面yOz是對稱平面，稱為主平面。同樣，其它兩個坐標(biāo)平面都是主平面。若點P(x,y,z)在橢球面上，則點(x,-y,-z)也在橢球面上，即x軸為橢球面的對稱軸，稱為主軸。25同樣，y軸和z軸也是橢球面的主軸。若點P(x,y,z)在橢球面上，則點(-x,-y,-z)也在橢球面上，所以，原點是橢球面的對稱中心，稱為橢球面的中心。（2）范圍對于橢球面上任一點(x,y,z),滿足方程所以26因此，橢球面完全被封閉在一個長方體的內(nèi)部，這個長方體由六個平面：x=