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《曲面與空間曲線qumianjikognjianquxia》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、§6曲面與空間曲線例1：求與A(2,3,1)和B(4,5,6)等距離的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)跡。解：設(shè)M(x,y,z)為動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的條件是
2、AM
3、=
4、BM
5、由距離公式得一.曲面及其方程：1.曲面方程的一般概念：而滿足此方程的點(diǎn)都在曲面上，則稱此方程為該曲面的方程，而曲面稱為此方程的‘圖形’。定義：若曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)都滿足方程F(x,y,z)=0，山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案整理得此即所求點(diǎn)的規(guī)跡方程，為一平面方程。2.坐標(biāo)面及與坐標(biāo)面平行的平面方程：①坐標(biāo)平面xOy的方程：z=0②過(guò)點(diǎn)（a,b,c)且與xOy面平行
6、的平面方程：z=c③坐標(biāo)面yOz、坐標(biāo)面zOx以及過(guò)（a,b,c)點(diǎn)且分別與之平行的平面方程：x=0;y=0;x=a;y=b山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案3.球面方程：①球面的標(biāo)準(zhǔn)方程：以M0(x0,y0,z0)為球心，R為半徑的球面方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解：整理得：(x+1)2+(y-1)2+z2=22故此為一個(gè)球心在（-1,1,0)，半徑為2的球。球面方程的特點(diǎn)：平方項(xiàng)系數(shù)相同；沒(méi)有交叉項(xiàng)。②球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+
7、Cz+D=0山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案一般我們將動(dòng)直線l沿定曲線c平行移動(dòng)所形成的軌跡稱為柱面。其中直線l稱為柱面的母線，定曲線c稱為柱面的準(zhǔn)線。本章中我們只研究母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。此時(shí)有以下結(jié)論：分析：母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的特點(diǎn)為：平行于某軸，則在其方程中無(wú)此坐標(biāo)項(xiàng)。其幾何意義為：無(wú)論z取何值，只要滿足F(x,y)=0，則總在柱面上。若柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線c是xOy面上的一條曲線，其方程為F(x,y)=0，則該柱面的方程為F(x,y)=0;同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空間中分別表示母線平行于y軸
8、和x軸的柱面。4.母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程：山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案圓柱面；橢圓柱面；雙曲柱面；拋物柱面。以上所舉例均為母線平行于z軸的情況，其他情況類似。幾種常見(jiàn)柱面：x+y=a平面；山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案4.旋轉(zhuǎn)曲面：一般情況下我們將一平面曲線c繞同一平面內(nèi)的定直線l旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。其中c稱為母線，l稱為其軸。本章中我們只研究繞坐標(biāo)軸放置的曲面。此時(shí)有以下結(jié)論：設(shè)yOz平面上有一已知曲線c其方程為f(y,z)=0，將c繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的以z軸為軸的放置曲面的方
9、程為：山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案同理，曲線c繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為：同理,以xOy面上曲線f(x,y)=0為母線繞x軸得曲面繞y軸為以xOz面上曲線f(x,z)=0為母線繞x軸得曲面繞z軸得曲面例3求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為a的圓錐面方程。解：將yOz面上的直線z=yctg?繞z軸旋轉(zhuǎn)一周即得圓錐曲面整理后得：其中a=ctg?山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案二.空間曲線及其方程：1.空間曲線的一般方程：空間曲線一般可看作兩個(gè)曲面的交線，若兩個(gè)曲面的方程分別為F(x,y,z)=0和G(x,
10、y,z)=0，則易知其交線c的方程為稱此方程組為曲線c的一般方程。例4：方程組表示怎樣的曲線？解：平面z=2上以(0,0,2)為圓心的單位圓。山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案表示母線平行于Z軸，準(zhǔn)線在xoy面上半徑為1的上半球面例方程表示怎樣曲線解：表示中心在原點(diǎn)，半徑為1的圓柱面它們的交線是xoy面上的一個(gè)圓，其圓心在，半徑為山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案2.空間曲線的參數(shù)方程：方程組稱為空間中曲線的參數(shù)方程。設(shè)空間曲線方程如果選定一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)x=x（x）代入上述方程組并有它解出y=（x），Z=Z（
11、x）得例如果空間一點(diǎn)M在圓柱面x2+y2=a2上以等角速度繞z周旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，以等速度v沿平行于Z軸的正方向移動(dòng)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡叫螺旋線，求其參數(shù)方程山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案螺旋線有一個(gè)重要性質(zhì)，當(dāng)從變到時(shí)，Z由變到這說(shuō)明當(dāng)轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)，點(diǎn)沿螺旋線升了高度，即上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)角度成正比。山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室《應(yīng)用數(shù)學(xué)》精品課程——電子教案三.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影：在該方程組中消去z得H(x,y)=0，此為一個(gè)通過(guò)曲線L母線平行于z軸的柱面，稱為曲線c關(guān)于xOy面的投影柱面。此投影柱面與xOy平面的交線即為c在xOy平
12、面上的投影曲線，簡(jiǎn)稱投影，其方程為同理
