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《高等數(shù)學(xué)8-2偏導(dǎo)數(shù)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第二節(jié)一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)1一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法回顧：導(dǎo)數(shù)的定義23注意:4同樣可定義對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)5偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處67例1.求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).8例2.設(shè)證:求證9解10不存在．11有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：１、２、求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解12３、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)，13顯然因?yàn)?在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)
2、.14思考:不能.例如,15是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線對(duì)y軸的4、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義16xzy0?由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：z=f(x,y)L：L=tan?偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義.y=y0同理，.Tx固定y=y017M?z=f(x,y)Lx=x0固定x=x0Tx.xzy0偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義18M?由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：z=f(x,y)L=tan?.x=x0Tx?Ty.xzy0固定x=x0偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義19幾何意義:20定義:二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)
3、設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).21按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):混合偏導(dǎo)22類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y的一階偏導(dǎo)數(shù)為23例7.求函數(shù)解:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及24例如,二者不等25問(wèn)題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？26則定理.例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說(shuō)明:本定理對(duì)n元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成
4、立.初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),而當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有27例8.證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程28練習(xí)題設(shè)方程確定u是x,y的函數(shù),連續(xù),且求解:29作業(yè)P181（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）30內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論定義;記號(hào);幾何意義函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代
5、利用定義求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)31思考與練習(xí)解答提示:P73題5P73題5,6即x＝y(tǒng)＝0時(shí),32P73題6(1)(2)33
