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1、三、多元函數(shù)的極限定義2.設(shè)n元函數(shù)點(diǎn),則稱A為函數(shù)(也稱為n重極限)P0是D的聚若存在常數(shù)A,對(duì)一記作都有對(duì)任意正數(shù)?,總存在正數(shù)?,切當(dāng)n=2時(shí),記二元函數(shù)的極限可寫作：例1.設(shè)求證：證:故總有要證1、改為xy如何？2、四則運(yùn)算和夾逼定理、無(wú)窮小代換、連續(xù)性?若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解:設(shè)P(x,y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同路徑趨于不存在.例3.討論函數(shù)函數(shù)?二重極限不同.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.如果它們都存
2、在,則三者相等.累次存在且相等二重存在。累次不等或不存在二重不存在四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3.設(shè)n元函數(shù)定義在D上,如果函數(shù)在D上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在D上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn).則稱n元函數(shù)連續(xù).連續(xù),例如,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周定理：若f(P)在有界閉域D上連續(xù),則在D上可取得最大值M及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).例6.求函數(shù)的連續(xù)域.解:3.證明在全平面連續(xù).證:
3、為初等函數(shù),故連續(xù).又故函數(shù)在全平面連續(xù).由夾逼準(zhǔn)則得解:原式五.討論下列二重極限：2.是否存在？解：所以原極限不存在.例4.求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y軸則故第二節(jié)一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)第八章定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意:一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法同樣可定義對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù),記為或y偏導(dǎo)數(shù)存在,二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線對(duì)y軸的例1.求在點(diǎn)(1
4、,2)處的偏導(dǎo)數(shù).證:例2.設(shè)求證注意：函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,在點(diǎn)（0，0)偏導(dǎo)。例3:求但在該點(diǎn)不一定連續(xù).在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!解：偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):例5.求函數(shù)解:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)例如,二者不等則定理.例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說
5、明:本定理對(duì)n元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等例6.證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論定義;記號(hào);幾何意義函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先求后代利用定義求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)
