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《初中數(shù)學(xué)圓的輔助線八種作法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、中考數(shù)學(xué)圓的輔助線在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本文只通過分析探索歸納幾種圓中常見的輔助線的作法。下面以幾道題目為例加以說明。1.有弦，可作弦心距在解決與弦、弧有關(guān)的問題時(shí)，常常需要作出弦心距、半徑等輔助線，以便應(yīng)用于垂徑定理和勾股定理解決問題。例1如圖1,⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，且AC=BD。求證：PO平分∠APD。DCBPOAEFPB圖1AC(BD，(AB(CD(分析
2、1：由等弦AC=BD可得出等弧=進(jìn)一步得出=，從而可證等弦AB=CD，由同圓中等弦上的弦心距相等且分別垂直于它們所對(duì)應(yīng)的弦，因此可作輔助線OE⊥AB，OF⊥CD，易證△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。CD(AB(證法1：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于FBD(AC(AC=BD=>==>==>AB=CD=>OE=OF∠OEP=∠OFP=90°=>△OPE≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF=>PO平分∠APD分析2：如圖1-1，欲證PO平分∠APD，即證∠OPA=∠OPD，可把∠OPA與∠OPD構(gòu)造在兩個(gè)三角
3、形中，證三角形全等，于是不妨作輔助線即半徑OA，OD，因此易證△ACP≌△DBP，得AP=DP，從而易證△OPA≌△OPD。DCBPOAPB圖1-1證法2：連結(jié)OA，OD?！螩AP=∠BDP∠APC=∠DPB=>△ACP≌△DBPAC=BD=>AP=DPOA=OD=>△OPA≌△OPD=>∠OPA=∠OPD=>PO平分∠APDOP=OP2.有直徑，可作直徑上的圓周角BDCMAO.A21圖2對(duì)于關(guān)系到直徑的有關(guān)問題時(shí)，可作直徑上的圓周角，以便利用直徑所對(duì)的圓周角是直角這個(gè)性質(zhì)。例2如圖2，在△ABC中，AB=AC，以AB為
4、直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過D作⊙O的切線DM交AC于M。求證DM⊥AC。分析：由AB是直徑，很自然想到其所對(duì)的圓周角是直角。于是可連結(jié)AD，得∠ADB=Rt∠,又由等腰三角形性質(zhì)可得∠1=∠2，再由弦切角的性質(zhì)可得∠ADM=∠B，故易證∠AMD=∠ADB=90°，從而DM⊥AC。證明連結(jié)AD。=>∠1=∠2AB為⊙O的直徑=>∠ADB=Rt∠AB=ACDM切⊙O于D=>∠ADM=∠B=>∠1+∠B=∠2+∠ADM=>∠AMD=∠ADB=Rt∠=>DM⊥AC說明，由直徑及等腰三角形想到作直徑上的圓周角。3.當(dāng)圓中有切線常連
5、結(jié)過切點(diǎn)的半徑或過切點(diǎn)的弦例3如圖3,AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=OB，DC切⊙O于C點(diǎn)。求∠A的度數(shù)。分析：由過切點(diǎn)的半徑垂直于切線，于是可作輔助線即半徑OC，得Rt△，再由解直角三角形可得∠COB的度數(shù)，從而可求∠A的度數(shù)。DAOBC.圖3解：連結(jié)OC。=>COS∠COD=OC/OD=1/2=>∠COB=60°DC切⊙O于C=>∠OCD=90°OC=OB=BD=>∠A=1/2∠COB=30°說明，由過切點(diǎn)的半徑垂直于切線想到連結(jié)半徑。例4如圖4，已知△ABC中，∠1=∠2，圓O過A、D兩點(diǎn)，且與BC
6、切于D點(diǎn)。求證EF//BC。EDCFO12AB圖4分析：欲證EF//BC，可找同位角或內(nèi)錯(cuò)角是否相等，顯然同位角相等不易證，于是可連結(jié)DE，得一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角∠BDE與∠DEF，由圓的性質(zhì)可知這兩個(gè)角分別等于∠1和∠2，故易證EF//BC。證明連結(jié)DE。BC切⊙O于D=>∠BDE=∠1∠2=∠DEF=>∠BDE=∠DEF=>EF//BC∠1=∠2說明，由有切線且在同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等想到連結(jié)弦。4.當(dāng)兩圓相切，可作公切線或連心線例5已知：如圖5，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P，過P點(diǎn)作兩條直線分別交⊙O1與⊙O2于點(diǎn)A、B、C
7、、D。求證PB?PC=PA?PD。分析：欲證PB?PC=PA?PD，即證PA∶PB=PC∶PD，由此可作輔助線AC、BD，并證AC//DB，要證平行，需證一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，如∠C=∠D，然后考慮到這兩個(gè)角分別與弦切角有關(guān)，進(jìn)而再作輔助線即兩圓公切線MN，從而問題迎刃而解。ACNBDMPO1O2..圖5證明連結(jié)AC、BD，過P點(diǎn)作兩圓的內(nèi)公切線MN=>∠C=∠D=>∠APM=∠C，∠BPN=∠D∠APM=∠BPN=>AC//DB=>PA∶PB=PC∶PD=>PB?PC=PA?PD說明，由需證弦平行且弦切角等于其所夾弧對(duì)的圓周
8、角想到作公切線和作弦。例6已知：如圖6，⊙O1與⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)T，經(jīng)過切點(diǎn)T的直線與⊙O1與⊙O2分別相交于點(diǎn)A和B。求證TA∶TB=O1A∶O2B。TBAO1O212圖6分析：欲證TA∶TB=O1A∶O2B，可考慮證這四條線段所在的三角形相似，即證△TO1A∽△TO2B，于是只需連結(jié)O2O1，并延長(zhǎng)，必過切點(diǎn)，則產(chǎn)
