一、費爾馬（Fermat）定理

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1、一、費爾馬(Fermat)定理注1.xyo水平切線P注2.證明：由定義及函數(shù)極限性質(zhì)可證.注3.二、拉格朗日(Lagrange)定理1.洛爾(Rolle)定理xyo注1.注2.幾何意義:注3.三條件缺一，則Rolle定理可能不成立.例如：1-111由圖像可見，三個函數(shù)Rolle定理都不成立.說明：Rolle定理的三個條件都是充分條件.證明：由⑴在必有最大值M和最小值m.若M=m，則M和m中至少有一個不等于于是在內(nèi)至少存在一點，使得（或），從而對（或）.據(jù)Fermat定理，得2.Lagrange定理（微分中值定理）oabxyAB微分中值公式注1.Rolle定理是Lagra

2、nge定理當(dāng)時的特殊情況.注2.幾何意義：如圖直線AB的方程注3.微分中值定理是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)研究函數(shù)全局性質(zhì)的重要工具.注4.定理的條件是充分的，但不是必要的.Rolle注3.上一點的切線平行于直線AB.證法：作輔助函數(shù)是與直線AB之差，即則新曲線上一點的切線平行于x軸.證明：⑴⑵（或）則（或）由Rolle定理得證.作平移微分中值公式的其它形式:①②即：③④在定理條件下，Corollary1.即導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)必是常數(shù)函數(shù).Corollary2.證明：李普希茲(Lipschitz)條件:Corollary3.例1.證明：由零點存在定理

3、，知此即為方程的小于1的正實根.矛盾,例2.證明:三、柯西(Cauchy)定理注1.當(dāng)注2.Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理都具有“中值”性，統(tǒng)稱為微分中值定理，它們的關(guān)系是后者包含前者.證明：作輔助函數(shù)（或）則由Rolle定理得證.注3.Cauchy定理之證例3.證明:結(jié)論可變形為四、小結(jié)Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.