24.1.2 垂徑定理.1.2垂徑定理

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1、24．1.2　垂直于弦的直徑教學(xué)目標(biāo):理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決一些實(shí)際問題．通過復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解．重、難點(diǎn)重點(diǎn)垂徑定理及其運(yùn)用．難點(diǎn)探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問題．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入①在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．②連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖線段AC，AB；③經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖線段AB；④圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，以A，C為端點(diǎn)的弧記作“”，

2、讀作“圓弧AC”或“弧AC”．大于半圓的弧(如圖所示)叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧(如圖所示或)叫做劣弧．⑤圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．⑥圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線．二、探索新知(學(xué)生活動)請同學(xué)按要求完成下題：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M.(1)如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你理由．(老師點(diǎn)評)(1)是軸對稱圖形，其對稱軸是CD.(2)AM＝BM，＝，＝，即直徑CD平分弦AB，并且平分及.這樣，我們就得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對

3、的兩條?。旅嫖覀冇眠壿嬎季S給它證明一下：已知：直徑CD、弦AB，且CD⊥AB垂足為M.求證：AM＝BM，＝，＝.分析：要證AM＝BM，只要證AM，BM構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等．因此，只要連接OA，OB或AC，BC即可．證明：如圖，連接OA，OB，則OA＝OB，在Rt△OAM和Rt△OBM中，∴Rt△OAM≌Rt△OBM，∴AM＝BM，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對稱，∵⊙O關(guān)于直徑CD對稱，∴當(dāng)圓沿著直線CD對折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，與重合，與重合．∴＝，＝.進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?本題的證明作為課后練習(xí))例1　有一石拱橋的橋拱是圓弧

4、形，如圖所示，正常水位下水面寬AB＝60m，水面到拱頂距離CD＝18m，當(dāng)洪水泛濫時(shí)，水面寬MN＝32m時(shí)是否需要采取緊急措施？請說明理由．分析：要求當(dāng)洪水到來時(shí)，水面寬MN＝32m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的長，因此只要求半徑R，然后運(yùn)用幾何代數(shù)解求R.解：不需要采取緊急措施，設(shè)OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，R2＝302＋(R－18)2，R2＝900＋R2－36R＋324，解得R＝34(m)，連接OM，設(shè)DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，342＝162＋(34－x)2，162＋342－68x＋x2＝342，x2－68x＋256＝0，解得x1＝4，x

5、2＝64(不合題意，舍去)，∴DE＝4，∴不需采取緊急措施．三、課堂小結(jié)(學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評)垂徑定理及其推論以及它們的應(yīng)用．四、作業(yè)布置1．垂徑定理推論的證明．2．教材第89，90頁　習(xí)題第8，9，10題．