14．2．1 平方差公式

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1、14．2．1平方差公式教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1．經(jīng)歷探索平方差公式的過程．2．會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算．（二）能力訓(xùn)練要求1．在探索平方差公式的過程中，培養(yǎng)符號(hào)感和推理能力．2．培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力．（三）情感與價(jià)值觀要求 在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號(hào)表示，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的簡捷美．教學(xué)重點(diǎn)平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式．教學(xué)方法探究與講練相結(jié)合．通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)一步探索公式的結(jié)構(gòu)特征，在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中讓學(xué)生體會(huì)公式實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用．教具準(zhǔn)備投影片．教學(xué)過程Ⅰ．

2、提出問題，創(chuàng)設(shè)情境[師]你能用簡便方法計(jì)算下列各題嗎？（1）2001×1999（2）998×1002[生甲]直接乘比較復(fù)雜，我考慮把它化成整百，整千的運(yùn)算，從而使運(yùn)算簡單，2001可以寫成2000+1，1999可以寫成2000-1，那么2001×1999可以看成是多項(xiàng)式的積，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可以很快算出．[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．[師]很好，請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手運(yùn)算一下．[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）=20002-1=400000

3、0-1=3999999．（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2=10002-22=1000000-4=1999996．[師]2001×1999=20002-12998×1002=10002-22它們積的結(jié)果都是兩個(gè)數(shù)的平方差，那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有這個(gè)規(guī)律呢？我們繼續(xù)進(jìn)行探索．Ⅱ．導(dǎo)入新課[師]出示投影片計(jì)算下列多項(xiàng)式的積．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）觀察上述算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)

4、算出結(jié)果后，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)．（學(xué)生討論，教師引導(dǎo)）[生甲]上面四個(gè)算式中每個(gè)因式都是兩項(xiàng)．[生乙]我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積．例如算式（1）是x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（2）是m與2這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（3）是2x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（4）是x與5y這兩個(gè)數(shù)的和與差的積．[師]這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆算一下，相信你還會(huì)有更大的發(fā)現(xiàn)．[生]解：（1）（x+1）（x-1）=x2+x-x-1=x2-12（2）（m+2）（m-2）=m2+2m-2m-2×2=m2-22（3）（2x+1）（2x-1）

5、=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12（4）（x+5y）（x-5y）=x2+5y·x-x·5y-（5y）2=x2-（5y）2[生]從剛才的運(yùn)算我發(fā)現(xiàn)：也就是說，兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，這和我們前面的簡便運(yùn)算得出的是同一結(jié)果．[師]能不能再舉例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？[生]能．例如：51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．即（50+1）（50-1）=502-12．（-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）=（-a）2-b2=a2-b2這同樣可以驗(yàn)證：兩個(gè)數(shù)的

6、和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．[師]為什么會(huì)是這樣的呢？[生]因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則展開后，中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng)，且系數(shù)互為相反數(shù)，所以和為零，只剩下這兩個(gè)數(shù)的平方差了．[師]很好．請(qǐng)用一般形式表示上述規(guī)律，并對(duì)此規(guī)律進(jìn)行證明．[生]這個(gè)規(guī)律用符號(hào)表示為：（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意數(shù)，也可以表示任意的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式．利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則可以做如下證明：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．[師]同學(xué)們真不簡單．老師為你們感到驕傲．能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（a+b）（a-b）=a2-b

7、2起一個(gè)名字呢？[生]最終結(jié)果是兩個(gè)數(shù)的平方差，叫它“平方差公式”怎樣樣？[師]有道理．這就是我們探究得到的“平方差公式”，請(qǐng)同學(xué)們分別用文字語言和符號(hào)語言敘述這個(gè)公式．（出示投影）兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．即：（a+b）（a-b）=a2-b2平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式，用它直接運(yùn)算會(huì)很簡便，但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用．在應(yīng)用中體會(huì)公式特征，感受平方差公式給運(yùn)算帶來的方便，從而靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算（出示投影片）例1：運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（

8、3）（-x+2y）（-x-2y）例2：計(jì)算：（1）102×98（2）（y+2）（