棋子變化問題

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1、棋子變化問題楊敬業(yè)2010035056數(shù)學(xué)試驗班22一.問題與初步思考任取n(n≥3)枚棋子圍成一圈,棋子有白與黑兩種顏色,連續(xù)施行變換:對圍成一圈的棋子,在兩枚相同顏色的棋子中間添一枚黑棋子,在兩枚不同顏色的棋子中間添一枚白棋子。去掉原來的棋子,新添的n個棋子排成一個圓周,問棋子的變化情況。(n=1,2屬于平凡狀態(tài))我們先來看幾個例子:n=3發(fā)現(xiàn)題目的顏色走進(jìn)了循環(huán)狀態(tài),但是當(dāng)n為偶數(shù)時,我們再來看看n=6最后也進(jìn)入了循環(huán)k那最后會不會變成一種顏色呢?其實當(dāng)n?2,k=2,3…時,最多只需要k經(jīng)過2次變換

2、一定可以全部變?yōu)楹谏?。二.分析以及建模首先,給棋子編號,任指定一枚棋子為1號,按順時針方向依次是2號,3號.?.n號.經(jīng)過變換后,i號棋子為在原來i號棋子與(i+1)號棋子之間新添的棋子,i=1,2.?n要將這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題可以把黑白兩色的棋子分別設(shè)為兩個相關(guān)的數(shù)字,并使這兩個數(shù)在運算關(guān)系中符合題目的要求,通過計算得出數(shù)字之間的關(guān)系,假設(shè)黑棋子為1,白棋子為-1則1x1=1,(-1)x(-1)=1,1x(-1)=-1,(-1)x1=-1.那么本題的問題就巧妙的和數(shù)學(xué)知識聯(lián)系上了,因此本題就轉(zhuǎn)換成一

3、個數(shù)學(xué)問題。假設(shè)有三個棋子給它分別編號為1,2,3構(gòu)成一個圈。插入兩顆棋子之間的棋子顏色由這兩顆棋子共同決定。1231×22×33×1232?13?21×2?32?1?2333?12?33?3331?2?1?23?1?2?34644644641?2?3?1?22?3?1?2?33?1?2?3?15101055101055101051?2?3?1?2?32?3?1?2?3?13?1?2?3?1?2通過以上推理過程圖,可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)n=3時,棋子顏色由上一行的兩個元素決定且其指數(shù)依次為1,3,3,1.⑵再以m=5

4、,n=5為例,通過對任意一顆棋子(令這顆棋子為第一顆棋子)的計算可得到每一次這顆棋子的符號分布如下:n=1時,得到新棋子的符號決定因素為1×2,其對應(yīng)指數(shù)分布為1,1.2n=2時,得到新棋子的符號決定因素為1×2?3,其對應(yīng)指數(shù)分布為1,2,1.33n=3時,得到新棋子的符號決定因素為1?2?3?4,其對應(yīng)指數(shù)分布為1,3,3,1.464n=4時,得到新棋子的符號決定因素為1?2?3?4?5,其對應(yīng)指數(shù)分布為1,4,6,4,1.510105n=5時,得到新棋子的符號決定因素為1?2?3?4?5?1,其對應(yīng)指

5、數(shù)分布為1,5,10,10,5,1.由以上具體例子的遞推結(jié)果可以看出他們的系數(shù)前n行遵循遵循楊輝三角第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第8行18285670562881第9行193684126126843691第10行1104512021025221012045101第11行1115516533046246233016555111······下面給出主要問題的證明:對n(n≥3)枚棋子的所有可能的顏色狀態(tài)

6、,最多經(jīng)過n次變換均可呈全黑色?k?=2,k為正整數(shù)且大于1為此我們先證明一引理:k楊輝三角第n(n≥2)行上除了首尾兩個數(shù),剩下均是偶數(shù)的?n=2k為任意正整數(shù)證明:km2!?由于楊輝三角第n行第m+1個數(shù)為C?n?k?2?m!?m!nrkst令2?2?Q,?2?m?!?2?Q,m!?2?Q,其中r,s,t為正整數(shù),Q0120QQ為奇數(shù),12故為偶數(shù)?同理可得回到定理中,我們發(fā)現(xiàn)第n次操作后,棋子指數(shù)恰好是楊輝三角的第n行。k而n=2行楊輝三角恰好全是偶數(shù),兩端的1對應(yīng)的剛好都是棋子的頂點,所以乘起來為1

7、,黑色;反正的證明由計算易,這里不再贅述。綜上所述,我們幾乎解決了這個問題。下面我們用matlab驗證一下:n=6%定義棋子數(shù)times=6%定義迭代次數(shù)x0=zeros(1,n);x1=zeros(1,n);%定義數(shù)組fori=1:nk=rand(1,1);if(k>0.5)x0(i)=1;elsex0(i)=-1;endend;%賦初值x0fori=1:timesifork=1:n-1x1(k)=x0(k)*x0(k+1);endx1(n)=x0(n)*x0(1);x1%顯示各次結(jié)果x0=x1;end輸

8、出的結(jié)果為:第一次n=6times=6x0=-1-11111i=1x1=1-1111-1i=2x1=-1-111-1-1i=3x1=1-11-111i=4x1=-1-1-1-111i=5x1=111-11-1i=6x1=11-1-1-1-1第二次n=6times=6x0=1-11-1-1-1i=1x1=-1-1-111-1i=2x1=11-11-11i=3x1=1-1-1-1-11i=4x1=-1111-11i=

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