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1、姓名二次函數(shù)總復習（知識點）1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的一元二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)(1)拋物線的頂點是原點，對稱軸是軸.(2)函數(shù)的圖像與的符號關系：①當時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當時拋物線開口向下頂點為其最高點3.二次函數(shù)的圖像是對稱軸平行于(包括重合)軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；越小，拋物線的開口越大，越大，拋物線的開口越小。②對稱軸為平行于軸(或重合)的直線，記作.特別地，軸記作直線.③定點是拋物線的最值點[最大
2、值(時)或最小值(時)]，坐標為(,)。6.求拋物線的頂點、對稱軸的方法(1)公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.(2)配方法：運用配方法將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是.(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以拋物線上縱坐標相等的兩個點連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.★用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失★7.拋物線中，的作用(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線,故：①時，對稱軸為軸；②時,對
3、稱軸在軸左側；③時,對稱軸在軸右側.(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：①，拋物線經(jīng)過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則.8.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④；⑤.其中①左右移動可得到③，再上下移動可得到④?？谠E“左加右減，上加下減”圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下(軸)(0,0)(軸)(0,)(,0)(,)()9.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)一般式：.已知圖像上三點或三對、的
4、值，通常選擇一般式.(2)頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.(3)交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.10.拋物線與Y軸的交點(1)軸與拋物線得交點為()(2)拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點拋物線與軸相交；②有一個交點(頂點在軸上)拋物線與軸相切；③沒有交點拋物線與軸相離.11．二次函數(shù)與一元二次方程的關系：(1)一元二次方程就是二次函數(shù)當函數(shù)y的值為0時的情況．(2)二次函數(shù)的圖象與軸的交點有三種情況：有兩
5、個交點、有一個交點、沒有交點；當二次函數(shù)的圖象與軸有交點時，交點的橫坐標就是當時自變量的值，即一元二次方程的根．(3)當二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點時，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點時，則一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當二次函數(shù)的圖象與軸沒有交點時，則一元二次方程沒有實數(shù)根12.二次函數(shù)的應用：(1)二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數(shù)的最大(小)值。一般而言，最大(小)值會在頂點處取得，達到最大(小)值時的即為頂點橫坐標值，最大(小)值也就是頂點縱坐標值。(2)二次函數(shù)的應用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際
6、問題中變量之間的二次函數(shù)關系；運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大(小)值．附：將二次函數(shù)的一般式化為頂點式的方法：(可用配方法和公式法)典型例題精講：某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高出售價格，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每漲價一元，其銷售量將減少10件，問他將出售價定為多少元時，才能使每天所獲利潤最大？并且求出最大利潤是多少？
