淺談倒奇函數(shù)和倒偶函數(shù)-化工

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1、淺談倒奇函數(shù)和倒偶函數(shù)■化工淺談倒奇函數(shù)和倒偶函數(shù)李磊(安徽理工大學(xué)化學(xué)工程學(xué)院，安徽淮南232001)I——dx【摘要】由皿的積分得到啟發(fā)，依據(jù)倒代換、積分函數(shù)理論得到一類與奇偶函數(shù)性質(zhì)極為相似形如F(x)=F(1/x)或F(?x)二?F(1/x)的一類函數(shù)。該函數(shù)不同于奇偶函數(shù)之處是，不像奇偶函數(shù)那樣具有嚴(yán)格的對(duì)稱性，但經(jīng)過倒代換函數(shù)數(shù)值上卻有對(duì)稱性，有方便解決互為倒數(shù)區(qū)間的走積分的用途。關(guān)鍵詞奇偶；倒代換；積分函數(shù)；互為倒數(shù)區(qū)間1定義形如F(x)二F(1/x)或F(x)二?F(1/x)的函數(shù)叫做倒偶函數(shù)和倒奇函數(shù)。若F(x)二F(l/x)則F(x)為倒偶函數(shù)；若F(x)=-

2、F(l/x)則稱F(x)為倒奇函數(shù)。2在初等函數(shù)中倒置函數(shù)的常見例子F(x)=C,F(x)=logax分別為倒偶函數(shù)和倒奇函數(shù)。證明：F(x)=C,F(1/x)=C??F(x)=C為倒偶函數(shù)F(x)=logax二logaxF(1/x)=-logax=-F(x)/.F(x)二logax為倒奇函數(shù)。而F(x)=ax,xn,sinx,cosx,tanx,arcsinx,arctanx者E不是倒置函數(shù)。3倒置函數(shù)的一般表示及其證明disc1?r(n-/l；>>F(丄)二fdjtr=證：…』術(shù))"何/(町-伯［丄$++力'+

3、為倒謂頤

4、數(shù)、那么必然會(huì)有?/(訕+;XST：*.1/(寧肘⑴=—i山=竺lih.r^Mzl「佇匕?丄X［化比33若幾0出丄〉為倒奇函數(shù)■那么曲—34'k?-*7-r^/<-

5、-)70>?r—：1：—-y"——T，十(丁)T'「八「-/f丁)廣八"叭〒山移“與：2」!丄*-Xa(?/&)』+〔A!:心=04由上述證明,不難得岀倒偶函數(shù)的寫袪可歸結(jié)為:卜"口(網(wǎng)占)d工=0.?8:F(al=fl屮“丄)胡丄)曲丄W(0=F(.t>AX2k(x)=f<2-)M?Mk的寫袪可口結(jié)為：F(x)=f(x)-?^>(x.l=-F(x)4函數(shù)與奇偶函數(shù)的對(duì)比4.1奇偶函數(shù)與倒置函數(shù)的寫法偶函數(shù)必滿足F(

6、-X)二F(x),倒偶函數(shù)必滿足F(x)二F(l/x)奇函數(shù)必滿足F(-x)=-F(x)r倒奇函數(shù)必滿足F(x)=-F(l/x)4.2倒偶函數(shù)的特殊極值點(diǎn)與偶函數(shù)的特殊極值點(diǎn)的比較倒偶函數(shù)的寫法由上述推導(dǎo)可得出F(x)=f(x)+f(1/x)對(duì)F(x)求導(dǎo)求導(dǎo)可得F*(x)=f*(x)-l/x2f'(1/x)???F'(1)=f*(1)-f*(1)=0??.x"必為駐點(diǎn)。那么x二：[是否為極值點(diǎn)呢？x二1必為極值點(diǎn)。證明：F'(l)二f'(1+)-f*(l-)rfuF*(1?)=f*(1-)-f*(l+)=-f'(l+)-f*(1-)=-F*(1)由此可見F*(x)和F*(1/x

7、)必異號(hào)。???0在1)和(1,1-)±F1(x)的正負(fù)號(hào)發(fā)生了變化，故而得F(l)必為極大值或極小值，進(jìn)而得x二1必為極值點(diǎn)。而F(x)為偶函數(shù)則可寫成F(x)二f(x)+f(-x)進(jìn)而有F1(x)=f'(x)-f1(-x)/.F1(0)=f1(0)-f'(0)=0故而x=0必為駐點(diǎn)。F*(0+)=f*(0+)-f1(0J而F*(0-)=f1(0-)-f'(0+)=-(f1(0+)?f'(0-)),由此可見由此可見1(0+)和F[0-)必異號(hào)。AO在(-,0)和(0,)上F'(x)的正負(fù)號(hào)發(fā)生了變化，故而得F(0)必為極大值或極小值，進(jìn)而得x=l必為極值點(diǎn)。4.3積分證明奇偶性

8、與積分證明正負(fù)倒置性的比較F(X匸I(t)dt?€若f(x)為奇函數(shù)姻F(兀叱、為偶函數(shù)J證明:則F(x匸I令u二t得F(x)=打5應(yīng)用當(dāng)f（工）H.ji二360（）時(shí).-2x36（X）-2xn越大吊諭度越甩3600X2x36（X上720（）..力匚不可枳但這沖形式為翁x?/（x）-y（丄）—dt=0當(dāng)/（寓）=3^71=36001：■136001MODXjiix-X*——13歸（歸蝴網(wǎng)3600??.當(dāng)/（!）=€?,sinx,cofiA時(shí)，積分不可積■但在件』梓S；間上積分結(jié)果為零。6應(yīng)用拓展厶w（p）若仃>（）w6>0,rxab■別——（心0J?tK/"Tf'"丄）-

9、H

10、—舉例:（1-4J）=36，如】c=l2令八皿幽茁二吉JXrxX12則I_—心?，4X由上述探討知，倒奇函數(shù)和倒偶函數(shù)有著與奇偶函數(shù)性質(zhì)上極為相似的地方。在教材上以及在其他書上很少見到，但這類函數(shù)卻十分普遍。用途上十分少見但確實(shí)對(duì)一些互為倒數(shù)區(qū)間上的定積分起到作用。參考文獻(xiàn)［1］朱白?對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的走積分性質(zhì)的推廣［J］.和田師范專科學(xué)校學(xué)報(bào):漢文綜合版2008,51（2）:188-188.［2］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.5版.北京:高等教育岀版社,2002.［3