2016年山東省煙臺市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版）

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2015-2016學(xué)年山東省煙臺市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析　一、選擇題：本大題共10小題；每小題5分，共50分.每小題給出四個選項，只有一個選項符合題目要求，把正確選項的代號涂在答題卡上.1．已知集合A={x|x＞﹣1}，A∪B=A，則集合B可以是（　?。〢．{0，2}B．{﹣1，0，1}C．{x|x≤0}D．R【考點】并集及其運算．【專題】集合．【分析】根據(jù)集合A，以及A與B的并集為A，即可確定出集合B的可能結(jié)果．【解答】解：集合A={x|x＞﹣1}，A∪B=A，則集合B可以是{0，2}．故選：A．【點評】此題考查了并集及其運算，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵．　2．已知角α終邊與單位圓x2+y2=1的交點為，則=（　　）A．B．C．D．1【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值；任意角的三角函數(shù)的定義．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得cosα的值，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式求得的值．【解答】解：由題意可得，cosα=，則=cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故選：A．【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．　3．設(shè)x＞0，且1＜bx＜ax，則（　?。?A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜aD．1＜a＜b【考點】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．【專題】探究型．【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合x＞0，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵1＜bx，∴b0＜bx，∵x＞0，∴b＞1∵bx＜ax，∴∵x＞0，∴∴a＞b∴1＜b＜a故選C．【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．　4．給定函數(shù)①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是（　　）A．①②B．②③C．③④D．①④【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】本題所給的四個函數(shù)分別是冪函數(shù)型，對數(shù)函數(shù)型，指數(shù)函數(shù)型，含絕對值函數(shù)型，在解答時需要熟悉這些函數(shù)類型的圖象和性質(zhì)；①為增函數(shù)，②為定義域上的減函數(shù)，③y=|x﹣1|有兩個單調(diào)區(qū)間，一增區(qū)間一個減區(qū)間，④y=2x+1為增函數(shù)．【解答】解：①是冪函數(shù)，其在（0，+∞）上即第一象限內(nèi)為增函數(shù)，故此項不符合要求；②中的函數(shù)是由函數(shù)向左平移1個單位長度得到的，因為原函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)為減函數(shù)，故此項符合要求；③中的函數(shù)圖象是由函數(shù)y=x﹣1的圖象保留x軸上方，下方圖象翻折到x軸上方而得到的，故由其圖象可知該項符合要求； ④中的函數(shù)圖象為指數(shù)函數(shù)，因其底數(shù)大于1，故其在R上單調(diào)遞增，不合題意．故選B．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，要注意每類函數(shù)中決定單調(diào)性的元素所滿足的條件．　5．若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，則ab的最大值為（　?。〢．B．1C．2D．4【考點】基本不等式．【專題】計算題．【分析】由于a＞0，b＞0，a+2b=2，故可利用基本不等式求ab的最大值．【解答】解：：∵a＞0，b＞0，a+2b=2∴∴ab當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=1即a=1，b=時取等號∴ab的最大值為故選A【點評】本題以等式為載體，考查基本不等式，關(guān)鍵是注意基本不等式的使用條件：一正，二定，三相等．　6．若x，y滿足，則下列不等式恒成立的是（　　）A．y≥﹣1B．x≥2C．x+2y+2≥0D．2x﹣y+1≥0【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由約束條件作出可行域，作出四個選項中不等式所對應(yīng)的直線，由圖可得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖， 由圖可知，對可行域內(nèi)的點不等式恒成立的是2x﹣y+1=0．故選：D．【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．　7．已知函數(shù)f（x）=x+，則函數(shù)y=f（x）的大致圖象為（　?。〢．B．C．D．【考點】函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】①當(dāng)x＞0時，f（x）=，由基本不等式知：≥，且當(dāng)x=1時取等號，即x=1時，函數(shù)有最小值2，排除BC，②當(dāng)x＜0時，考慮函數(shù)f（x）=x﹣的單調(diào)性，可選出答案．【解答】解：①當(dāng)x＞0時，f（x）=，由基本不等式知：≥，且當(dāng)x=1時取等號， 即x=1時，函數(shù)有最小值2，排除BC，②當(dāng)x＜0時，f（x）=x﹣，因為x、都是增函數(shù)，故函數(shù)f（x）=x﹣為增函數(shù)，只有D符合，故選：D．【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，分類討論函數(shù)的性質(zhì)時解題的關(guān)鍵．　8．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD=AB，BE=BC，若（λ1，λ2為實數(shù)），則λ1+λ2的值為（　　）A．1B．2C．D．【考點】平面向量的基本定理及其意義．【專題】計算題；平面向量及應(yīng)用．【分析】作出圖形，根據(jù)向量的線性運算規(guī)則，得，再由分解的唯一性得出λ1與λ2的值即可．【解答】解：由題意，如圖，因為AD=AB，BE=BC，∴，又（λ1，λ2為實數(shù)），∴，∴λ1+λ2=．故選C． 【點評】本題考查向量基本定理，分解的唯一性是此類求參數(shù)題建立方程依據(jù)，注意體會這一規(guī)律．　9．函數(shù)y=cos（+φ）（0≤φ＜2π）在區(qū)間（﹣π，π）上單調(diào)遞增，則φ的最大值是（　?。〢．B．C．D．【考點】余弦函數(shù)的圖象．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由題意可得（﹣π）+φ≥π+2kπ，且?π+φ≤2π+2kπ，k∈z．再結(jié)合0≤φ＜2π，可得φ的最大值．【解答】解：∵函數(shù)y=cos（+φ）（0≤φ＜2π）在區(qū)間（﹣π，π）上單調(diào)遞增，∴（﹣π）+φ≥π+2kπ，且?π+φ≤2π+2kπ，k∈z，解得2kπ+≤φ≤+2kπ．再結(jié)合0≤φ＜2π，可得φ的最大值是，故選：C．【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．　10．如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)，而函數(shù)y=在區(qū)間I上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)y=f（x）是區(qū)間I上“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”，若函數(shù)f（x）=是區(qū)間I上“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”I為（　?。〢．[1，+∞）B．C．[0，1]D．【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意，求f（x）=的增區(qū)間，再求y==x﹣1+的減函數(shù)，從而求緩增區(qū)間．【解答】解：f（x）=在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，y==x﹣1+，y′=﹣?=； 故y==x﹣1+在[﹣，]上是減函數(shù)，故“緩增區(qū)間”I為[1，]；故選D．【點評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．　二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把正確答案填在答題卡的相應(yīng)位置.11．若logxy=﹣2，則x2+y的值域為?。?，+∞）?。究键c】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】利用指數(shù)與對數(shù)的互化，化簡所求表達(dá)式，利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：logxy=﹣2，可得y=x﹣2，x＞0且x≠1，x2+y=x2+x﹣2=x2+＞2=2．所以x2+y的值域為：（2，+∞）；故答案為：（2，+∞）．【點評】本題考查函數(shù)的值域，基本不等式的應(yīng)用，對數(shù)與指數(shù)的互化，考查計算能力．　12．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC則b=　4?。究键c】余弦定理；正弦定理．【專題】計算題；解三角形．【分析】利用余弦定理、正弦定理化簡sinAcosC=3cosAsinC，結(jié)合a2﹣c2=2b，即可求b的值．【解答】解：∵sinAcosC=3cosAsinC，∴∴2c2=2a2﹣b2∵a2﹣c2=2b，∴b2=4b ∵b≠0∴b=4故答案為：4【點評】本題考查余弦定理、正弦定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．　13．已知函數(shù)f（x）=則f（f（﹣1））=　1?。究键c】函數(shù)的值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】直接利用分段函數(shù)求解函數(shù)值即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=則f（﹣1）=，f（f（﹣1））=f（）==1．故答案為：1．【點評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．　14．如圖所示，點P是函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）圖象的最高點，M、N是圖象與x軸的交點，若=0，則ω=　?。究键c】正弦函數(shù)的圖象．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合．【分析】由題意，結(jié)合圖象，推出OP=2，MN=4，求出函數(shù)的周期，利用周期公式求出ω．【解答】解：，點P是函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）圖象的最高點，M、N是圖象與x軸的交點，若=0，所以O(shè)P=2，MO=OM=2，所以T=8， 因為T=，所以ω=故答案為：【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查正弦函數(shù)的圖象，函數(shù)的周期，向量的數(shù)量積與向量的垂直關(guān)系，考查邏輯推理能力，計算能力，好題．　15．若關(guān)于x的函數(shù)f（x）=（t＞0）的最大值為M，最小值為N，且M+N=4，則實數(shù)t的值為　2?。究键c】函數(shù)的最值及其幾何意義．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意f（x）=t+g（x），其中g(shù)（x）=是奇函數(shù)，從而2t=4，即可求出實數(shù)t的值．【解答】解：由題意，f（x）==t+，顯然函數(shù)g（x）=是奇函數(shù)，∵函數(shù)f（x）最大值為M，最小值為N，且M+N=4，∴M﹣t=﹣（N﹣t），即2t=M+N=4，∴t=2，故答案為：2．【點評】本題考查函數(shù)的最大值、最小值，考查函數(shù)是奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．　三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟.16．已知向量=（cosθ，sinθ），=（2，﹣1）．（1）若⊥，求的值；（2）若|﹣|=2，，求的值．【考點】平面向量數(shù)量積的運算；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．【專題】平面向量及應(yīng)用． 【分析】（1）由⊥，可得=2cosθ﹣sinθ=0，求得tanθ=2，從而求得=的值．（2）把已知等式平方求得=1，即2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1，求得tanθ=．再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosθ和sinθ的值，從而求得=sinθ+cosθ的值．【解答】解：（1）若⊥，則=2cosθ﹣sinθ=0，tanθ==2，∴===．（2）∵||=1，||=，若|﹣|=2，，則有﹣2+=4，即1﹣2+5=4，解得=1，即2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1，化簡可得3cos2θ﹣4sinθcosθ=0，即tanθ=．再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系sin2θ+cos2θ=1，求得cosθ=，sinθ=，∴=sinθ+cosθ=．【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，屬于中檔題．　17．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．【考點】正弦定理．【專題】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，進(jìn)而利用A和B的關(guān)系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值． （Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，進(jìn)而根兩角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面積公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=?sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a?b?sinC=×3×3×=．【點評】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．解題過程中結(jié)合了同角三角函數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，注重了基礎(chǔ)知識的綜合運用．　18．已知平面向量=（cosφ，sinφ），=（cosx，sinx），=（sinφ，﹣cosφ），其中0＜φ＜π，且函數(shù)f（x）=（?）cosx+（?）sinx的圖象過點（，1）．（1）求φ的值；（2）將函數(shù)y=f（x）圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在[0，]上的最大值和最小值．【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式；兩角和與差的余弦函數(shù)；余弦函數(shù)的定義域和值域．【專題】計算題． 【分析】（1）先根據(jù)兩個向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求出以及，再代入f（x）求出f（x）的表達(dá)式；根據(jù)圖象過點即可求出φ的值；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律求出函數(shù)y=g（x）的表達(dá)式，再根據(jù)變量的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)y=g（x）在上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵……∴f（x）=（=cos（φ﹣x）cosx+sin（φ﹣x）sinx=cos（φ﹣x﹣x）=cos（2x﹣φ），…即f（x）=cos（2x﹣φ）∴f（﹣φ）=1，而0＜φ＜π，∴φ=．…（2）由（1）得，f（x）=cos（2x﹣），于是g（x）=cos（2（），即g（x）=cos（x﹣）．…當(dāng)x∈[0，]時，﹣，所以）≤1，…即當(dāng)x=0時，g（x）取得最小值，當(dāng)x=時，g（x）取得最大值1．…【點評】本題主要考查三角函數(shù)的平移以及向量的數(shù)量積．三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減．　19．如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過C點，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求AN長的取值范圍； （Ⅱ）若AN∈[3，4）（單位：米），則當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【專題】應(yīng)用題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出矩形的長與寬，求得矩形的面積，利用矩形AMPN的面積大于32平方米，即可求得AN的取值范圍；（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)y=在[3，4）上為單調(diào)遞減函數(shù)，即可求得面積的最大值．【解答】解：設(shè)AN的長為x米（x＞2）由于，則AM=故SAMPN=AN?AM=…（Ⅰ）由花壇AMPN的面積大于32平方米，得＞32，∴2＜x＜或x＞8，即AN長的取值范圍是（2，）∪（8，+∞）．…（Ⅱ）令y=，則y′=因為當(dāng)x∈[3，4）時，y′＜0，所以函數(shù)y=在[3，4）上為單調(diào)遞減函數(shù)，…從而當(dāng)x=3時y=取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米，此時AN=3米，AM=9米…【點評】本題考查根據(jù)題設(shè)關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，解題的關(guān)鍵是確定矩形的面積．　 20．已知二次函數(shù)h（x）=ax2+bx+2，其導(dǎo)函數(shù)y=h′（x）的圖象如圖，f（x）=6lnx+h（x）．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過待定系數(shù)法求出a，b的值，從而求出f（x）的解析式；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，集合函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．【解答】解：（1）由已知，h′（x）=2ax+b，其圖象為直線，且過（0，﹣8），（4，0）兩點，把兩點坐標(biāo)代入h′（x）=2ax+b，∴，解得：，∴h（x）=x2﹣8x+2，h′（x）=2x﹣8，∴f（x）=6lnx+x2﹣8x+2，（2）f′（x）=+2x﹣8，∵x＞0，∴x，f′（x），f（x）的變化如下：x（0，1）1（1，3）3（3，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）遞增遞減遞增∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（3，+∞）∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，m+）上是單調(diào)函數(shù)， 則，解得：＜m≤．【點評】本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．　21．已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=g（x）在點P（x0，y0）處的切線方程為l：y=h（x）．當(dāng)x≠x0時，若＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=g（x）的“轉(zhuǎn)點”．當(dāng)a=8時，問函數(shù)y=f（x）是否存在“轉(zhuǎn)點”？若存在，求出“轉(zhuǎn)點”的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）將a=1代入函數(shù)表達(dá)式，求出導(dǎo)函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間從而求出函數(shù)的極值；（Ⅱ）a=8時，由y=f（x）在其圖象上一點P（x0，f（x0））處的切線方程，得h（x）=（2x0+﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，設(shè)F（x）=f（x）﹣h（x）=，則F（x0）=0，F(xiàn)′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）=（x﹣x0）（x﹣）；分別討論當(dāng)0＜x0＜2，x0=2，x0＞2時的情況，從而得出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）a=1時，f′（x）=2x﹣3+=，當(dāng)f′（x）＞0時，0＜x＜，或x＞1，當(dāng)f′（x）＜0時，＜x＜1，∴f（x）在（0，）和（1，+∞）遞增，在（，1）遞減；∴x=時，f（x）極大值=﹣+ln，x=1時，f（x）極小值=﹣2；（Ⅱ）a=8時，由y=f（x）在其圖象上一點P（x0，f（x0））處的切線方程，得h（x）=（2x0+﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，設(shè)F（x）=f（x）﹣h（x）=，則F（x0）=0， F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）=（x﹣x0）（x﹣）；當(dāng)0＜x0＜2時，F(xiàn)（x）在（x0，）上遞減，∴x∈（x0，）時，F(xiàn)（x）＜F（x0）=0，此時＜0，x0＞2時，F(xiàn)（x）在（，x0）上遞減；∴x∈（，x0）時，F(xiàn)（x）＞F（x0）=0，此時＜0，∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“轉(zhuǎn)點”，x0=2時，F(xiàn)′（x）=（x﹣2）2，即F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；x＞x0時，F(xiàn)（x）＞F（x0）=0，x＜x0時，F(xiàn)（x）＜F（x0）=0，即點P（x0，f（x0））為“轉(zhuǎn)點”，故函數(shù)y=f（x）存在“轉(zhuǎn)點”，且2是“轉(zhuǎn)點”的橫坐標(biāo)．【點評】本題考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值問題，如何解決新定義的問題，是一道綜合題．