蒙特卡洛方法

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1、蒙特卡洛方法1、蒙特卡洛方法的由來蒙特卡羅分析法（MonteCarlomethod），又稱為統(tǒng)計模擬法，是一種采用隨機抽樣（RandomSampling）統(tǒng)計來估算結(jié)果的計算方法。由于計算結(jié)果的精確度很大程度上取決于抽取樣本的數(shù)量，一般需要大量的樣本數(shù)據(jù)，因此在沒有計算機的時代并沒有受到重視。第二次世界大戰(zhàn)時期，美國曼哈頓原子彈計劃的主要科學家之一，匈牙利美藉數(shù)學家約翰·馮·諾伊曼（現(xiàn)代電子計算機創(chuàng)始人之一）在研究物質(zhì)裂變時中子擴散的實驗中采用了隨機抽樣統(tǒng)計的手法，因為當時隨機數(shù)的想法來自擲色子及輪盤等賭博用具，因此他采用摩洛哥著名賭城蒙特卡羅來命名這種計算

2、方法，為這種算法增加了一層神秘色彩。蒙特卡羅方法提出的初衷是用于物理數(shù)值模擬問題,后來隨著計算機的快速發(fā)展,這一方法很快在函數(shù)值極小化、計算幾何、組合計數(shù)等方面得到應(yīng)用,于是它作為一種獨立的方法被提出來,并發(fā)展成為一門新興的計算科學,屬于計算數(shù)學的一個分支。如今MC方法已是求解科學、工程和科學技術(shù)領(lǐng)域大量應(yīng)用問題的常用數(shù)值方法。2、蒙特卡洛方法的核心—隨機數(shù)蒙特卡洛方法的基本理論就是通過對大量的隨機數(shù)樣本進行統(tǒng)計分析，從而得到我們所需要的變量。因此蒙特卡洛方法的核心就是隨機數(shù)，只有樣本中的隨機數(shù)具有隨機性，所得到的變量值才具有可信性和科學性。在連續(xù)型隨機變量

3、的分布中,最基本的分布是[0,1]區(qū)間上的均勻分布,也稱單位均勻分布。由該分布抽取的簡單子樣ξ1，ξ2ξ3……稱為隨機數(shù)序列,其中每一個體稱為隨機數(shù),有時稱為標準隨機數(shù)或真隨機數(shù),獨立性和均勻性是其必備的兩個特點。真隨機數(shù)是數(shù)學上的抽象,真隨機數(shù)序列是不可預(yù)計的,因而也不可能重復(fù)產(chǎn)生兩個相同的真隨機數(shù)序列。真隨機數(shù)只能用某些隨機物理過程來產(chǎn)生,如放射性衰變、電子設(shè)備的熱噪音、宇宙射線的觸發(fā)時間等。實際使用的隨機數(shù)通常都是采用某些數(shù)學公式產(chǎn)生的，稱為偽隨機數(shù)。真隨機數(shù)只是一種數(shù)學的理想化概念，實際中我們所接觸到的和使用的都是偽隨機數(shù)。要把偽隨機數(shù)當成真隨機數(shù)來

4、使用,必須要通過隨機數(shù)的一系列的統(tǒng)計檢驗。無論偽隨機數(shù)用什么方法產(chǎn)生,它的局限性都在于這些隨機數(shù)總是一個有限長的循環(huán)集合,而且序列偏差的上確界達到最大值。所以若能產(chǎn)生低偏差的確定性序列是很有用的,產(chǎn)生的序列應(yīng)該具有這樣的性質(zhì),即任意長的子序列都能均勻地填充函數(shù)空間。人們已經(jīng)產(chǎn)生了若干種滿足這個要求的序列,如Halton序列、Faure序列、Sobol序列和Niederreiter序列等。稱這些序列為擬隨機數(shù)序列。偽隨機序列是為了模擬隨機性,而擬隨機序列更致力于均勻性。3、蒙特卡洛方法的原理當問題可以抽象為某個確定的數(shù)學問題時，應(yīng)當首先建立一個恰當?shù)母怕誓Ｐ停?/p>

5、即確定某個隨機事件A或隨機變量X，使得待求的解等于隨機事件出現(xiàn)的概率或隨機變量的數(shù)學期望值。然后進行模擬實驗，即重復(fù)多次地模擬隨機事件A或隨機變量X。最后對隨機實驗結(jié)果進行統(tǒng)計平均，求出A出現(xiàn)的頻數(shù)或X的平均值作為問題的近似解。一、收斂性切比雪夫定理：設(shè)隨機變量X1,X2…Xn,...相互獨立，且具有相同的數(shù)學期望和方差：E(Xk)=μ,D(Xk)=σ2(k=1,2，…)，作前n個隨機變量的算術(shù)平均Yn=1nk=1nXk則對任意ε>0有l(wèi)imn→∞PYn-μ<εlimn→∞P1nk=1nXk-μ<ε=1這說明，當n充分大時，隨機變量的算術(shù)平均值接近于數(shù)學期望

6、，這種接近是在概率意義下接近的。換言之，n個相互對立的隨機變量的算術(shù)平均，當n無限增大時，幾乎變成了一個常數(shù)。伯努利大數(shù)定律：設(shè)m是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率（00，有l(wèi)imn→∞Pmn-p<ε=1這表明，當n足夠大時，事件的頻率與其發(fā)生的概率的偏差小于任意小的數(shù)ε的概率為1。因此在實際中，試驗次數(shù)達到一定的數(shù)值時，我們可以用事件的頻率來替代事件發(fā)生的概率。收斂判據(jù)：蒙特卡洛方法的收斂判據(jù)是根據(jù)所計算變量估計值的誤差來確定的，常用方差系數(shù)來表示：β=V(F)/NSE(F)只有方差系數(shù)降低到一定的數(shù)

7、值，抽樣才停止。二、蒙特卡洛方法步驟（1）為了計算某個變量I，首先就是選擇一個數(shù)學期望為I的隨機變量Y,從中抽出子樣Y1，Y2，Y3，……Yn。接著要確定隨機變量Y的概率模型Y=g（ξ1，ξ2,ξ3……ξm），其中ξ1，ξ2稱為隨機數(shù)，就是我們上文提到的真隨機數(shù)。m稱為此次算法的結(jié)構(gòu)性維數(shù)，也就是完成一次抽樣所需要隨機數(shù)的最大數(shù)目。也就是根據(jù)隨機產(chǎn)生的m個隨機數(shù)得到隨機變量Y的一個子樣Yn，可以是一種對應(yīng)關(guān)系，或者是函數(shù)關(guān)系，或者可以稱為一種映射關(guān)系。（2）抽樣方法的采用：當確定隨機變量Y后,關(guān)鍵的就是從Y的分布中抽取子樣Y1,Y2,……Yn。因此,隨機變量

8、抽樣是蒙特卡洛方法的關(guān)鍵步驟。對于任意非單位均勻分布