三角形內(nèi)角和定理 新課

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1、講授：【師生活動(dòng)】學(xué)生動(dòng)手操作，各個(gè)小組通過(guò)度量、剪拼、折疊等不同方法得出結(jié)論．【設(shè)計(jì)意圖】以問(wèn)題引發(fā)思考設(shè)置懸念,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，自然導(dǎo)入三角形內(nèi)角和的學(xué)習(xí)．學(xué)生會(huì)提出度量、拼圖、折疊的方法，然后讓每個(gè)學(xué)生取出課前準(zhǔn)備的三角形紙板，并將它的內(nèi)角剪下，試著拼拼看．通過(guò)小組合作交流有幾種拼合方法．最后教師總結(jié)出幾種拼圖方法．展示結(jié)果：各個(gè)小組的成果展示．剪拼法：(1)(3)(5)(2)(4)（學(xué)生：展示拼圖，簡(jiǎn)單介紹拼法）折疊法：先將紙片三角形一角折向其對(duì)邊，使頂點(diǎn)落在對(duì)邊上，折線與對(duì)邊平行（圖1），然后把另處兩角相向?qū)φ?，使其頂點(diǎn)與已折角的頂點(diǎn)

2、相嵌合（圖2）、（圖3），最后得到（圖4）所示的結(jié)果．BAC圖3圖2BCAACB圖1BAC圖4【師生活動(dòng)】學(xué)生：會(huì)提出度量時(shí)三個(gè)內(nèi)角和不都是180°，因?yàn)闇y(cè)量會(huì)有誤差．教師：利用幾何畫板演示三個(gè)內(nèi)角和是180°．引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)拼圖方法，為了下一步證明定理提供思路．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，一方面發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)操作的局限性（視覺(jué)誤差、度量誤差，實(shí)驗(yàn)有限性與三角形個(gè)數(shù)無(wú)限的矛盾），進(jìn)而了解證明的必要性；另一方面從實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中受到啟發(fā)，為下一步證明三角形內(nèi)角和定理提供思路和方法．有一些剪拼成的圖形雖然能拼成180°，有驗(yàn)證作用，但不容易形成證明思路（圖2、4

3、）．折疊的方法，教師也應(yīng)給予說(shuō)明，并指出以后學(xué)習(xí)了全等三角形及軸對(duì)稱等內(nèi)容，也可進(jìn)行證明．【師生活動(dòng)】教師：同學(xué)們的做法大致是將兩個(gè)角剪下來(lái)拼在第三個(gè)角的同側(cè)或異側(cè)在頂點(diǎn)處形成一個(gè)平角，也有的小組將三個(gè)角剪下，發(fā)現(xiàn)在任何地方都能拼成一個(gè)平角，初步驗(yàn)證結(jié)論．【問(wèn)題3】通過(guò)度量、剪拼或折疊的方法驗(yàn)證了手中的三角形紙片的內(nèi)角和是180度，但這些只是有限的幾個(gè)，而形狀不同的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，我們?nèi)绾蔚玫剿腥切蔚膬?nèi)角和是180度呢？【師生活動(dòng)】學(xué)生小組交流，小組代表匯報(bào)結(jié)果然后匯報(bào)結(jié)果，最后達(dá)成共識(shí)．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)操作的局限性（誤差和實(shí)驗(yàn)個(gè)數(shù)的有

4、限性），進(jìn)而了解證明的必要性；另一方面從實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中受到啟發(fā)，為下一步證明三角形內(nèi)角和定理提供思路和方法．【追問(wèn)1】我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)只能驗(yàn)證結(jié)論，能使用結(jié)論嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生回答：不能，只有通過(guò)證明才能使用結(jié)論．【追問(wèn)2】在圖(1)中，∠A和∠B拼在∠C的右側(cè)，三個(gè)角合起來(lái)形成一個(gè)平角，應(yīng)如何去證明呢？【師生活動(dòng)】學(xué)生回答：需要添加輔助線．【追問(wèn)3】怎么添加？【師生活動(dòng)】學(xué)生回答：過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線.教師：數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論都需要嚴(yán)格的邏輯推理證明其正確性．在證明之前，先將圖形畫出來(lái)，寫出已知、求證．學(xué)生：與老師互動(dòng)寫出已知、求證．教師：畫圖、板書已知

5、：△ABC求證：∠A+∠B+∠C=1800【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)添加輔助線的方法，獲得證明思路，感悟輔助線在幾何證明中的重要作用．【追問(wèn)4】參考圖(1)，你能寫出證明過(guò)程嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生活動(dòng)，教師板書，共同完成證明過(guò)程．證法１：證明:延長(zhǎng)BC到D，過(guò)C作CE∥BA，∴∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定義）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）這個(gè)結(jié)論正確，稱為三角形內(nèi)角和定理（老師板書，用彩色粉筆）【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理證明“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等

6、于180°”,感悟幾何證明的意義，體會(huì)幾何證明的規(guī)范性，所以第一種方法師生可以共同完成推理過(guò)程．并注意強(qiáng)調(diào)命題證明的步驟．【師生活動(dòng)】在圖(2)(4)中，只能驗(yàn)證定理，而不容易形成證明思路．教師：通過(guò)幾何畫板驗(yàn)證反例，說(shuō)明問(wèn)題．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的局限性（視覺(jué)誤差、度量誤差、實(shí)驗(yàn)有限性與三角形無(wú)限性矛盾），進(jìn)而了解證明的必要性．【追問(wèn)5】通過(guò)前面的研究，你還能找出其他證明方法嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生小組探究，學(xué)生代表到黑板板書證明過(guò)程．證法2:證明：過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC∴∠B=∠1(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠EAC+∠C=180°(兩直線平行,同旁

7、內(nèi)角互補(bǔ))∠BAC+∠1+∠C=180°∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換)【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生觀察剪拼后的圖形中線與線的特殊位置,讓學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)，上升到理性認(rèn)識(shí)．用推理證明三角形內(nèi)角和定理．證法3：證明：過(guò)A作EF∥BC，∴∠B=∠2∠C=∠1(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)又∵∠BAC+∠2+∠1=180°(平角定義)∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）【設(shè)計(jì)意圖】啟發(fā)學(xué)生添加輔助線，利用平行線的性質(zhì)和平角的定義，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，尋求證明方法．滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，在證明１、3中引導(dǎo)學(xué)生把三角形三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化成平角；在證明2中，

8、把三角形三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化成平行線下的同旁內(nèi)角，從而得到180°．【師生活動(dòng)】教師：還有不同的證法嗎？學(xué)生：小組代