淺談數(shù)形結(jié)合思想（終稿）

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1、淺談數(shù)形結(jié)合思想【摘要】本文主要介紹怎樣應(yīng)用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，及其應(yīng)注意的事項(xiàng)。f關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合思想；以形助數(shù)；以數(shù)解形中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為兩大部分，一部分是數(shù)，一部分是形，但數(shù)與形是有聯(lián)系的,這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合白般好,隔裂分家萬(wàn)事非?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形Z間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽彖的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的兒何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單

2、化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致乂可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，或者借助形的兒何直觀性來(lái)闡明數(shù)Z間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”?！耙詳?shù)解形”就是有些圖形太過(guò)于簡(jiǎn)單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來(lái)，這時(shí)就需要給圖形賦值，如邊長(zhǎng)、角度等等，特別是在做選擇題時(shí)，只有一個(gè)答案是正確答案，用此種方法就可能起到意想不到的效果。rh于這“以數(shù)解形”比鮫簡(jiǎn)單，所以這里就不多做介紹了?！耙孕沃鷶?shù)”是指把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為立觀的圖形，可避免繁雜的計(jì)

3、算，獲得出奇制勝的解法。學(xué)生通常把“數(shù)形結(jié)合”就理解為“以形助數(shù)”，也可以這么說(shuō)，理解了并掌握了“以形助數(shù)”這種思想方法，就是理解了“數(shù)形結(jié)合”?！耙孕沃鷶?shù)”中的“形”,或有形或無(wú)形。若有形，貝何為圖表■模型，若無(wú)形，則可另行構(gòu)造或聯(lián)想。因此“以形輔數(shù)”的途徑大體有三種：一是運(yùn)用圖形；二是構(gòu)造圖形；三是借助于代數(shù)式的兒何意義。以下我將從“數(shù)形結(jié)合”在哪些題型中可以應(yīng)用和使用“數(shù)形結(jié)合”時(shí)要注意哪些事項(xiàng)這兩個(gè)方面來(lái)具體介紹數(shù)形結(jié)合這種思想方法。1.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用1.1在方程、函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用方程f(x)-g(x)=0的解情況,可化為f(x)=g(x)的解情況，也

4、可看作函數(shù)y=f(x)Ly二g(x)圖像的交點(diǎn)的橫處標(biāo)的情況，所以只要我們準(zhǔn)確地畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，再根據(jù)圖像就能很容易地看出它們有兒個(gè)交點(diǎn)，及交點(diǎn)大致的位置或處標(biāo)，還有一些其它的重要信息，這樣我們就可以根據(jù)這些信息來(lái)解題，特別是選擇題。對(duì)于計(jì)算題，我們也可以川數(shù)形結(jié)合這種方法為自己提供一種思考問(wèn)題的思路，也可以川來(lái)檢查自己到底佇沒(méi)有做錯(cuò)。例1拋物線J=ax2+/?X+C與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,點(diǎn)Q（4,8k）在拋物線上且AQ丄BQ,則亦=（）A、一lB、1C、2D、3分析這樣的題目，用常規(guī)的解法很難找到突破口。如圖1-1所示：我們不難發(fā)現(xiàn)，不論函數(shù)圖像開(kāi)口向

5、上還是向下，a,k總是異號(hào)的，即看看各個(gè)備選項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)只有A表示的是小于0的。故本題選（A）0例2方稈lgx=3（兀+3）（兀+1）（兀-1）（兀-3）的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)有（）A、1B、2C、3D、4分析直接去解這個(gè)方程，對(duì)于中學(xué)學(xué)牛來(lái)說(shuō)是不可能的事。判斷原方程的根的個(gè)數(shù)就是判斷圖像yy圖IT圖1-3y=lgx與y=3（兀+3）（x+1）（兀一1）（兀一3）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)圖像（圖1-2）,從圖形中我們很明顯地知道這兩個(gè)圖像只有兩個(gè)交點(diǎn)，故本題選（B）。例3若關(guān)于x的方程/（兀）+F+2kx-3k的兩根都在1與3之間，求k的取值范圍？分析令f（x）+x2+2

6、kx-3k,如圖1-3所示，其圖像與x軸交點(diǎn)的橫處標(biāo)就是方程f（x）=O的解,要使兩根都在1,3之間,只需f（l）>0,f（3）>0,-bf（_^）=/（-jt）<0,l<-k<3同時(shí)成立，解得—3

7、三是兩根分別在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，則要滿足每個(gè)區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)就行；四是兩根在某個(gè)數(shù)的一側(cè)，貝I」、要滿足其對(duì)稱軸在這個(gè)數(shù)的所要的一側(cè)，這個(gè)數(shù)的函數(shù)值與其頂點(diǎn)處標(biāo)的縱處標(biāo)異號(hào)就行；五是兩根在某個(gè)區(qū)間Z外即兩側(cè)，貝I」、要滿足這個(gè)區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值與&的乘積都小于o就行。當(dāng)然了，這里只考慮到開(kāi)區(qū)間，耍是遇到閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間時(shí)，區(qū)間的端點(diǎn)要另外再討論。1.2在最值問(wèn)題中的應(yīng)用最值問(wèn)題，一般就是求某個(gè)代數(shù)式或函數(shù)的最大值或最小值了，當(dāng)然有些題目是可以借助丁1重要不等式等知識(shí)直接解決的，但有些題廿用這些方法都比較復(fù)雜，而II計(jì)算量很大。這時(shí)我們就要換一種方法來(lái)考慮問(wèn)題了

8、，不要思、