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《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1.2 數(shù)列的遞推公式（選學(xué)）學(xué)案（含解析）新人教B版必修5》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2.1.2 數(shù)列的遞推公式(選學(xué))學(xué)習(xí)目標 1.理解數(shù)列的幾種表示方法，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎緮?shù)列.2.理解遞推公式的含義，能根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項.3.了解用疊加法、疊乘法由遞推公式求通項公式.知識點一 遞推公式如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)(n≥2)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式.特別提醒：(1)與所有的數(shù)列不一定都有通項公式一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.(2)遞推公式也是表示數(shù)列的一種重要方法，它和通項公式一樣，都是關(guān)于項數(shù)n的
2、恒等式.(3)遞推公式可以通過賦值逐項求出數(shù)列的項，直至求出數(shù)列的任何一項和所需的項.知識點二 遞推公式與通項公式的比較通項公式和遞推公式都是給出數(shù)列的方法.已知數(shù)列的通項公式，可以直接求出任意一項；已知遞推公式，要求某一項，則必須依次求出該項前面所有的項.思考 (1)已知求a4；(2)已知an＝2n，求a4.答案 (1)a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋2＝6，a4＝a3＋2＝8；(2)a4＝2×4＝8.1.數(shù)列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N＋，則a2＝2a1.( √ )2.利用an＋1＝2an，n∈N＋可以確定數(shù)列{an}.( × )3.a
3、n＝n與y＝x的圖象是相同的.( × )4.有些數(shù)列難以用通項公式和遞推公式表示，但可以用列表法輕松表示.( √ )題型一 由數(shù)列前若干項歸納遞推公式例1 圖中的三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在四個三角形圖案中，著色的小三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，請寫出這個數(shù)列的遞推公式和一個通項公式.解 如題圖，這四個三角形圖案中著色的小三角形第(2)個是第(1)個的3倍，第(3)個是第(2)個的3倍，故有遞推公式個數(shù)依次為1,3,9,27.則所求數(shù)列的前4項都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號減1.所以，這個數(shù)列的一個通項公式是an＝3n-1，n∈N＋.反思感悟
4、 求數(shù)列的遞推公式注重觀察數(shù)列項與項的關(guān)系，求通項公式注重觀察項與序號的關(guān)系，圖象法則一如既往地直觀.跟蹤訓(xùn)練1 傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù).比如，他們將石子擺成如圖所示的三角形點陣，就將其所對應(yīng)石子的個數(shù)稱為三角形數(shù)，則第n個三角形數(shù)比第n－1(n≥2，n∈N＋)個三角形數(shù)多________個石子.答案 n解析 ∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.題型二 數(shù)列的遞推公式命題角度1 由遞推公式求前若干項例2 設(shè)數(shù)列{an}滿足寫出這個數(shù)列的前5項.解 由題意可知
5、a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.引申探究若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，n∈N＋，求a2019.解 a2＝＝＝－3，a3＝＝＝－，a4＝＝＝，a5＝＝＝2＝a1，∴{an}是周期為4的數(shù)列，∴a2019＝a4×504＋3＝a3＝－.反思感悟 遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關(guān)系.對于通項公式，已知n的值即可得到相應(yīng)的項；而遞推公式則要已知首項(或前幾項)，才可依次求得其他的項.若項數(shù)很大，則應(yīng)考慮數(shù)列是否具有規(guī)律.跟蹤訓(xùn)練2 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，n
6、∈N＋，試寫出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}具有怎樣的規(guī)律？你能否求出該數(shù)列中的第2019項？解 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….發(fā)現(xiàn)：an＋6＝an，數(shù)列{an}具有周期性，周期T＝6.證明如下：∵an＋2＝an＋1－an，∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.∴數(shù)列{an}是周期數(shù)列，且T＝6.∴a2019＝a336×6＋3＝a3＝1.命題角度2 由遞推公式求通項例3 (1)對于任意數(shù)列{a
7、n}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立.試根據(jù)這一結(jié)論，完成問題：已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N＋，求通項an；(2)若數(shù)列{an}中各項均不為零，則有a1···…·＝an(n≥2，n∈N＋)成立.試根據(jù)這一結(jié)論，完成問題：已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N＋)，求通項an.解 (1)當(dāng)n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝2(n－1)＋1＝2n－1.a1＝1也符合上式，所以數(shù)列{an}的通項公式
8、是an＝2n－1，n∈N＋.(2)當(dāng)n≥2時，an＝a1···…·＝1···…·＝.a1＝1也符合上式，所以
