商高方程及其應(yīng)用文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述商高方程及其應(yīng)用　一、前言部分（說(shuō)明寫(xiě)作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說(shuō)明有關(guān)主題爭(zhēng)論焦點(diǎn)）初等數(shù)論是研究整數(shù)最基本的性質(zhì)，是一門(mén)十分重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。好像沒(méi)有一門(mén)學(xué)科像“初等數(shù)論”那樣，它的最基本的內(nèi)容可以同時(shí)作為中小學(xué)生、大學(xué)生以及研究生的一門(mén)課程，當(dāng)然在內(nèi)容的深淺難易上各有不同。直到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們?nèi)詷?lè)此不疲的著數(shù)論中那些看似簡(jiǎn)單，但仍未找到其證明方法的問(wèn)題。就如至今尚未解決的“哥德巴赫猜想”，幾百年來(lái)挑戰(zhàn)了眾多數(shù)學(xué)家的智慧，也得到了不少著名結(jié)果。足以可見(jiàn)這門(mén)課程的獨(dú)特魅力所在

2、。而中國(guó)在初等數(shù)論的研究有著悠久的歷史和杰出的貢獻(xiàn)。如：商高定理、中國(guó)剩余定理等。而初等數(shù)論一個(gè)重要分支就是不定方程。其中二次不定方程商高方程的求解問(wèn)題是本文研究的焦點(diǎn)。它的解的形式多樣，其內(nèi)容豐富多彩。只有弄清商高方程，才能對(duì)不定方程有更深入的把握，才能繼續(xù)研究形式更復(fù)雜的不定方程解的情況，并對(duì)費(fèi)馬大定理（解的存在性）有更清楚的認(rèn)識(shí)。不定方程的定義：變數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且取整數(shù)值的方程（或方程組）稱(chēng)為不定方程（或不定方程組）。一次不定方程的定義：設(shè)整數(shù)，,,...,是整數(shù)且都不等于零，以及，

3、...，是整數(shù)變數(shù)。方程（1）稱(chēng)為元一次不定方程，稱(chēng)為它的系數(shù)。[5]商高方程的定義：二次不定方程（2）它通常稱(chēng)為商高方程或Pythagoras方程。滿足的解稱(chēng)為顯然解，的解稱(chēng)為非顯然解。費(fèi)馬大定理：當(dāng)時(shí)，不定方程無(wú)的整數(shù)解。[5]本文介紹商高定理悠久的背景，簡(jiǎn)明地闡述不定方程的定義和內(nèi)容，其中一些定理進(jìn)行梳理、歸納，并舉例進(jìn)行說(shuō)明。二、主體部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對(duì)這些問(wèn)題的評(píng)述）（一）歷史背景：商高定理：商高定理是個(gè)歷史悠久的著名定理，我國(guó)古人在這方面的研究留下了一

4、系列寶貴的著作?！吨荀滤憬?jīng)》是我國(guó)古代流傳下來(lái)的一部重要的數(shù)學(xué)著作，該書(shū)原名《周髀》，大約成書(shū)于公元2世紀(jì)。它包含了相當(dāng)深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其主要成就包括分?jǐn)?shù)運(yùn)算、商高定理（勾股定理）及其在天文學(xué)測(cè)量的應(yīng)用。該書(shū)卷首記述了一段精彩的對(duì)話：昔者周公問(wèn)于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤(pán)，得成三四五。兩矩共長(zhǎng)

5、二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！庇捎诖硕ɡ硎巧谈甙l(fā)現(xiàn)的，所以稱(chēng)為“商高定理”?！吨荀滤憬?jīng)》里還這樣記載：周髀長(zhǎng)八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益長(zhǎng)。候勾六尺,即取竹，空經(jīng)一寸，長(zhǎng)八尺，捕影而觀之，室正掩日，而日應(yīng)空之孔。由此觀之,率八十寸而得徑寸，故此勾為首，以髀為股，從髀至日下六萬(wàn)里而髀無(wú)影，從此以上至日，則八萬(wàn)里。這段文字描述了中國(guó)古代人民如何利用商高定理在科學(xué)上進(jìn)行實(shí)踐?；谏鲜鰷Y源，所以

6、我們把這一定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。這是中國(guó)最早關(guān)于勾股定理書(shū)面記載。在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)》一書(shū)中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書(shū)中的《勾股章》說(shuō):“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來(lái)，再進(jìn)行開(kāi)方，便可以得到弦。”把這段話列成算式，即為:，即：。中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。由此可見(jiàn)，我國(guó)

7、在商高定理的研究上有悠久的歷史和杰出的貢獻(xiàn)。[1]西方勾股定理又稱(chēng)畢達(dá)哥拉斯定理。在西方的文獻(xiàn)中，勾股定理一直以古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的名字來(lái)命名。據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理后斬了百頭牛慶祝，因此又稱(chēng)“百牛定理”。但迄今為止并沒(méi)有畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的直接證據(jù)。希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德(Euclid,公元前三百年左右的人)在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開(kāi)了。[2]值得指出的是，由于《幾何原本》的廣泛流傳，歐幾

8、里得的證明是勾股定理所有證明中最為著名的，為此，希臘人稱(chēng)之為“已婚婦女的定理”；法國(guó)人稱(chēng)之為“驢橋問(wèn)題”；阿拉伯人稱(chēng)之為“新娘圖”、“新娘的坐椅”；在歐洲，又有人稱(chēng)之為“孔雀的尾巴”或“大風(fēng)車(chē)”等，這些可能是從其幾何圖形得到的靈感吧！[1]費(fèi)馬大定理：公元1637年，費(fèi)爾馬在研究丟番圖的《算術(shù)》一書(shū)時(shí)，想到了畢達(dá)哥拉斯問(wèn)題的推廣。費(fèi)爾馬在《算術(shù)》一書(shū)的空白處寫(xiě)到:“不可能將一個(gè)高于2次的冪寫(xiě)成兩個(gè)同樣冪次的和”。即當(dāng)整數(shù)時(shí)，無(wú)正整數(shù)解。同時(shí)，還寫(xiě)下批注:“我有一個(gè)對(duì)這個(gè)命題的十分美妙的證明，很可