【數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】數(shù)列、函數(shù)上下極限的性質(zhì)及其應用

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1、（20__屆）本科畢業(yè)論文數(shù)列、函數(shù)上下極限的性質(zhì)及其應用摘要：極限是數(shù)學中的一個重要的基本概念，也是數(shù)學研究的一個重要內(nèi)容，極限思想在數(shù)學中也起著非常重要的作用。上、下極限的概念是極限概念的延伸，在極限概念中占有重要的位置。本文首先介紹了數(shù)列、函數(shù)的上下極限的定義，并給出了幾個等價定義的證明過程；然后介紹了數(shù)列、函數(shù)的上下極限的性質(zhì)定理并給出了相應的證明過程；最后通過實例給出了數(shù)列、函數(shù)上下極限的相關理論在證明數(shù)列和函數(shù)極限存在性等方面的應用。關鍵詞：上極限；下極限；數(shù)列；函數(shù)。Applyingandproper

2、tiesofupperandlowerlimitsinsequencesandfunctionsAbstract:Limitsisoneofthemostimportantbasicmathematicalconcepts,isalsoanimportanttoolofmathematicalresearch.Theconceptsofupperandlowerlimitsaretheextensionoftheconceptoflimits,possessestheveryimportantpositionint

3、heconceptoflimits.Thismanuscriptdealswiththedefinitionsofupperandlowerlimitsinsequencesandfunctionsandtheprocessoftheproofforsomeequivalentdefinitionsatfirst;secondly,weintroducethetheoremsonpropertiesofupperandlowerlimitsinsequencesandfunctionsandalsogivethep

4、rocessofcorrespondingproof.Atlast,wepresentmanyexamplestoillustratethatthetheoryofupperandlowerlimitsinsequencesandfunctionsplayanimportantroleonprovingtheexistenceoflimits.Keywords:upperlimits;lowerlimits;sequence;function.目錄1引言12數(shù)列、函數(shù)的上、下極限的定義32.1數(shù)列的上、下極限的定義

5、32.1.1數(shù)列的上、下極限的定義32.1.2數(shù)列的上、下極限的幾個定義的等價性42.2函數(shù)的上、下極限的定義52.2.1函數(shù)的上、下極限的定義52.2.2函數(shù)的上、下極限的幾個定義的等價性63數(shù)列、函數(shù)的上、下極限的性質(zhì)83.1數(shù)列的上、下極限的性質(zhì)83.1.1數(shù)列的上、下極限的性質(zhì)83.1.2性質(zhì)的證明93.2函數(shù)的上、下極限的性質(zhì)103.2.1函數(shù)的上、下極限的性質(zhì)103.2.2性質(zhì)的證明124數(shù)列、函數(shù)的上、下極限的應用144.1上、下極限性質(zhì)的應用舉例144.2上、下極限的應用在極限運算及證明中的作用15

6、4.3上、下極限來刻畫數(shù)列收斂的充要條件174.4上、下極限概念在數(shù)列與級數(shù)論中的作用185結束語20致謝21主要參考文獻221引言眾所周知，極限理論是高等數(shù)學的基礎，其地位的重要性毋庸多言。極限思想在數(shù)學中起著非常重要的作用。極限的思想方法貫穿于數(shù)學分析課程的始終。可以說數(shù)學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數(shù)學分析著作中，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法，然后利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導數(shù)，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。極限思想

7、方法是數(shù)學分析乃至全部高等數(shù)學必不可少的一種重要方法，也是數(shù)學分析與初等數(shù)學的本質(zhì)區(qū)別之處。數(shù)學家拉夫倫捷夫曾說：“數(shù)學極限法的創(chuàng)造是對那些不能夠用算術、代數(shù)和初等幾何的簡單方法來求解的問題進行了許多世紀的頑強探索的結果。”極限思想的萌芽階段以希臘的芝諾，中國古代的惠施、劉徽、祖沖之等為代表。提到極限思想，就不得不提到由古希臘的著名哲學家芝諾提出的著名的阿基里斯悖論——一個困擾了數(shù)學界十幾個世紀的問題。無獨有偶，我國春秋戰(zhàn)國時期的哲學名著《莊子》記載著惠施的一句名言“一尺之錘，日取其半，萬事不竭?！边@更是從直觀上體

8、現(xiàn)了極限思想。我國古代的劉徽和祖沖之計算圓周率時所采用的“割圓術”則是極限思想的一種基本應用。以上諸多內(nèi)容可以上溯到2000多年前，都是極限思想萌芽階段的一些表現(xiàn)，盡管在這一階段人們沒有明確提出極限這一概念，但大致在16、17世紀真正意義上的極限得以產(chǎn)生。從這一時期開始，極限與微積分開始形成密不可分的關系，并且最終成為微積分的直接基礎。盡管極限概念被明確提出