電磁場理論chap4[靜態(tài)電磁場求解].ppt

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1、主要內(nèi)容：靜態(tài)的場唯一性定理分離變量方法Green函數(shù)方法鏡像原理第四章靜態(tài)電磁場求解4.1靜態(tài)場的唯一性定理1靜態(tài)電磁場的方程靜電場由電荷激發(fā)，電荷是靜電場的通量源。恒定磁場由恒定電流激發(fā)，電流是靜態(tài)磁場的渦旋源。靜態(tài)電磁場與時(shí)間無關(guān)，具有相同的基本特性。①靜態(tài)電磁場與時(shí)間無關(guān)，屬于時(shí)不變場，數(shù)學(xué)上滿足同一類方程（Poisson方程）κ為介質(zhì)的電磁特性參數(shù)②靜態(tài)電磁場（恒定電流磁場源區(qū)）具有無旋特性，可以用標(biāo)量函數(shù)（稱為位函數(shù)或勢函數(shù)）的梯度來表示，即③在介質(zhì)的分界面上，位函數(shù)滿足靜態(tài)電磁場的定解問題為：n2唯一性定理設(shè)在區(qū)域V內(nèi)源已知，在區(qū)域的邊界S上：或已知（M為邊界上的變

2、點(diǎn)）。則在區(qū)域V內(nèi)存在唯一的解，它在該區(qū)域內(nèi)滿足Poisson方程；在區(qū)域的邊界上滿給定的邊界條件。稱為靜態(tài)電磁場的唯一性定理。設(shè)兩個(gè)同心導(dǎo)體球殼之間充滿兩種介質(zhì)。內(nèi)導(dǎo)體帶電，電荷量為Q，外導(dǎo)體球殼接地。分離變量方法又稱為Fourier級數(shù)方法。其實(shí)質(zhì)是通過變量分離將原來的偏微分方程變?yōu)楹写▍?shù)的常微（本征值）方程，求解本征值方程得到本征值和本征函數(shù)。利用本征函數(shù)的完備性展開表示待求函數(shù)；把求待求函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求展開系數(shù)。通過邊界條件等確定展開的系數(shù)，從而求出問題的解4.2分離變量方法CAB【例4-1】長方形盒的長為A、寬為B、高為C，上蓋電位為，其余接地，求盒內(nèi)的電位分布

3、。上述求解過程，歸納分離變量方法的基本程序如下：①提煉出定解問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即方程和邊界條件；②根據(jù)邊界條件選取適合變量分離的正交坐標(biāo)系；③把方程和邊界條件進(jìn)行變量分離，得到本征值方程；④求解本征值方程，確定本征值和本征函數(shù)；⑤根據(jù)線性疊加原理，由本征函數(shù)構(gòu)造定解問題的解；⑥利用邊界條件確定展開系數(shù)，驗(yàn)證解的正確性?！纠?-2】無窮長導(dǎo)體圓筒，半徑為a，厚度可以忽略不計(jì)。圓筒分成相等的兩個(gè)半片，相互絕緣。其中的一半的電位為，另一半電位為，求圓筒內(nèi)的電位分布。4.3Green函數(shù)方法小電荷元在r點(diǎn)產(chǎn)生的電位V上體電荷在空間產(chǎn)生的電位是全體電荷元產(chǎn)生電位的疊加，表示為：以電荷產(chǎn)生電

4、位為例Green函數(shù)方法的基本思想上述分析說明，只要點(diǎn)電荷元在空間的電位求得，任意電荷分布的電位即可知。此即Green函數(shù)的基本思想。因此一個(gè)復(fù)雜的靜電場問題就可以通過先求解小電荷元的電位而獲得最終的。而小電荷元的電位的求解又歸結(jié)為單位點(diǎn)電荷的電位，即Green函數(shù)的求解。2Poisson方程的Green函數(shù)應(yīng)用當(dāng)?shù)冒堰€原，又可表示為，以靜電場為例區(qū)域內(nèi)體電荷對電位的貢獻(xiàn)區(qū)域邊界面上電荷對電位的貢獻(xiàn)區(qū)域邊界面上電偶極矩貢獻(xiàn)兩個(gè)特例：（1)第一類邊界條件的Green函數(shù)物理模型rGreen函數(shù)其物理意義是：接地導(dǎo)體殼內(nèi)單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位（2)第二類邊界條件的Green函數(shù)物理模型

5、rGreen函數(shù)其物理意義是：封閉絕熱邊界條件下區(qū)域內(nèi)部單位熱源產(chǎn)生的恒定的溫度場，這是一個(gè)與物理原理相矛盾的結(jié)果絕熱邊界條件：不與外界交換能量的邊界條件3Green函數(shù)的對稱性在應(yīng)用Green函數(shù)方法求解靜態(tài)電磁場問題的一般解時(shí)，為了解決表達(dá)式中源點(diǎn)與場點(diǎn)出現(xiàn)矛盾的問題，有一個(gè)重要的假設(shè)：物理意義：點(diǎn)的源在r點(diǎn)產(chǎn)生的場等于r點(diǎn)的源在點(diǎn)產(chǎn)生的場，具有互易性。Green函數(shù)的求解：Green函數(shù)本身也是一個(gè)數(shù)學(xué)物理方程，所有關(guān)于數(shù)學(xué)物理方程的求解方法也是Green函數(shù)的求解方法，包括：分離變量方法、積分變換方法靜電鏡像方法、復(fù)變函數(shù)方法積分公式方法、Fourier級數(shù)方法【例4-3

6、】求一無窮長矩形金屬殼內(nèi)單位線源的單位，導(dǎo)體殼接地。（x0，y0）ba4.4鏡像方法1鏡像方法的基本思想以靜電場Green函數(shù)滿足的方程為例：物理上它表示接地導(dǎo)體殼內(nèi)單位點(diǎn)電荷的電位，它由單位電荷在直接激發(fā)的電位和邊界感應(yīng)電荷激發(fā)的電位兩個(gè)部分疊加而成。感應(yīng)面電荷上述表達(dá)式中，單位點(diǎn)電荷在空間產(chǎn)生的電位已知道，因此方程的求解最終歸結(jié)為求出邊界感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位。為了得到感應(yīng)電荷及其產(chǎn)生的電位，人們試圖尋找一個(gè)或者多個(gè)想象的點(diǎn)電荷來等效邊界面上感應(yīng)電荷對電位的貢獻(xiàn)，這個(gè)想象的一個(gè)或者多個(gè)點(diǎn)電荷稱為像電荷。這一方法稱為鏡像方法。無窮大接地導(dǎo)體平板上方單位點(diǎn)電荷在上半空間的電位。定解問

7、題是：導(dǎo)體平板上方的電位為單位點(diǎn)電荷的貢獻(xiàn)和導(dǎo)體平板面上感應(yīng)電荷的貢獻(xiàn)的疊加。如果能找到一個(gè)與導(dǎo)體平板感應(yīng)電荷在上半空間產(chǎn)生電位等效的像電荷Q`來代替導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，那么導(dǎo)體平板上方的電位可以表示為R1R2在上半空間等效①像電荷的位置不在上半空間②像電荷在原電荷與感應(yīng)電荷中心的連線上③像電荷與原電荷的符號相反④像與原電荷在平面xoy上的電位為零原電荷像電荷所以：上半空間的Green函數(shù)鏡像原理的基本思想是尋找一個(gè)或幾個(gè)想象的電荷等效邊界感應(yīng)電荷的貢獻(xiàn)(2)像電荷須在區(qū)域的外