資源描述：
《Mathematica 之 “數值積分方法”.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第4節(jié)數值積分方法關于積分，有Newton-Leibniz公式但是，在很多情況下，還是要數值積分：1、函數有離散數據組成2、F(x)求不出3、F(x)非常復雜定義數值積分如下：是離散點上的函數值的線性組合稱為積分系數，與f(x)無關，與積分區(qū)間和積分點有關4.1數值積分的概念數值積分?積分:無限求和?有限求和被積函數在有限個點上取樣?求積法則（quadraturerule）?n-點求積規(guī)則(通過n點的計算):4.2牛頓－柯特斯求積法則對于n點情況，使用n-1階多項式插值，將得到n點求積法則。在區(qū)間[a,b]上等間距的節(jié)
2、點xi上進行多項式插值，將得到牛頓－柯特斯（Newton-Cotes）求積法則。中點法則一點求積法則?中點法則:梯形法則兩點求積法則?梯形法則:可得兩點牛頓插值多項式：給定:梯形法則的說明：梯形法則??Simpson’s法則三點求積法則?Simpson’s法則:Simpson’s法則按牛頓插值:設,可得三點牛頓插值多項式：Simpson’s法則例4.1求下面積分近似:正確的四舍五入結果:0.746842數值結果:幾種計算結果的比較：4.2.1誤差估計通過泰勒級數展開的方法進行估計:從a到b對x積分，再將m=(a+b)/
3、2代入得(x偶次冪項為零):在中點附近展開:事實上，由積分中值定理可求得梯形求積公式的截斷誤差：梯形求積公式的截斷誤差由積分中值定理可求得辛普生求積公式的截斷誤差：辛普生求積公式的截斷誤差數值積分及誤差計算舉例例題：試梯形公式計算積分的近似值，并估計截斷誤差。解：用梯形公式計算：估計截斷誤差為：4.3自適應求積在計算一個積分時，使用任意高階求積法則去獲得一個任意高的精度，并不都是合適的。4.3.1復合求積法則應用分段插值在給定積分范圍上導出復合求積法則。?將區(qū)間劃分為n段:在每個小區(qū)間[xi-1,xi]（i=1,…,n
4、）上應用求積法則，將得到復化求積法則。復化中點法則與中點法則相聯系的誤差估計與子區(qū)間[xi-1,xi]相聯系的誤差是:在區(qū)間[a,b]上總的誤差為:復化梯形法則誤差做等距節(jié)點復化梯形積分公式與梯形法則相聯系的誤差的估計在子區(qū)間[xi-1,xi]上的誤差:在區(qū)間[a,b]上的總誤差:誤差做等距節(jié)點，復化辛普生積分公式復化辛普生積分公式的誤差估計在子區(qū)間[xi-1,xi]上的誤差:在區(qū)間[a,b]上總的誤差:解：=3.138988494運算量基本相同=3.141592502數值積分舉例例：計算其中其中4.3.2自適應求積帶
5、有誤差估計的復化求積法則可以用于產生一個自動求積程序：通過繼續(xù)分割子區(qū)間，直到誤差估計達到要求的數值之下。函數變化有急有緩，為了照顧變化劇烈部分的誤差，我們需要加密格點。對于變化緩慢的部分，加密格點會造成計算的浪費。建立一種算法，可以自動在變化劇烈的地方加密格點計算，而變化緩慢的地方，則取稀疏的格點。自適應求積例如：在整個最初區(qū)間上使用求積法則;如果誤差要求達不到，將區(qū)間二分割，在每一個子區(qū)間上應用求積法則。如果兩個子段上的誤差之和仍達不到要求，將誤差最大的區(qū)間進一步二分割，在每一個子區(qū)間上應用求積法則。直到誤差要求最
6、終達到。自適應求積在被積函數變化最迅速的區(qū)域取樣最密集。這樣一種自適應策略構成了大多數積分子程序的基礎。①先看看事后誤差估計（不同的誤差表達式，事后誤差估計式是不同的）以復化梯形公式為例n等分區(qū)間2n等分區(qū)間近似有：類似，復化Simpsom公式②自適應計算記為復化1次、2次的Simpson公式控制求自適應數值積分計算1.用區(qū)間逐次二分的梯形公式計算要求誤差不超過提示：利用，。作業(yè)42.試使用辛普生公式計算積分并估計截斷誤差。的近似值，3.已知以下9組坐標{x，f（x）}數據給出了ｆ與ｘ的函數關系{{0.,0.},{0.
7、125,0.124675},{0.25,0.247404},{0.375,0.366273},{0.5,0.479426},{0.625,0.585097},{0.75,0.681639},{0.875,0.767544},{1.,0.841471}}，用辛普生公式求 數值積分結果。使用插值命令求上述數據的插值函數F(x)，并求插值函數在區(qū)間[0,1]上的積分值。作業(yè)4
