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《高數(shù)2.3 連續(xù).ppt》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、§2.3函數(shù)的連續(xù)性10函數(shù)連續(xù)的概念X0Ay=f(x)(1)f(x)在x0處無定義Ay=f(x)(2)X0f(x)在x0處有定義X0y=f(x)(3)f(x)在x0處出現(xiàn)跳躍(4)X0y=f(x)f(x)在x0附近無界(5)X0y=f(x)f(x0)f(x)在x0處連續(xù)圖(1)---(4)在x0處曲線出現(xiàn)間斷;圖(5)曲線在x0處連續(xù).圖形(5)的特征:定義:設(shè)在某鄰域上有定義,如果則稱在x0處連續(xù)記有f(x0)f(x)在x0處連續(xù)x0y=f(x)(5)f(x)x即f(x)在x0處連續(xù)的語言描述:設(shè)在某鄰域內(nèi)有定義,如果對任f(x)在x0處連續(xù)的三要素:(1)在某鄰域內(nèi)有
2、定義(非去心鄰域)(2)存在(設(shè)為A);(3)f(x)在x0處左連續(xù):f(x)在x0處右連續(xù):f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù):若f(x)在(a,b)內(nèi)每一點處都連續(xù)(稱f(x)為(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù))f(x)在[a,b]上連續(xù):若f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),在x=a處右連續(xù),在x=b出左連續(xù),則稱f(x)在[a,b]上連續(xù)(稱為[a,b]上的連續(xù)函數(shù))定理解20連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)定理(連續(xù)函數(shù)的四則運算性質(zhì))設(shè)f(x),g(x)在點x0處連續(xù),則(1)f(x)±g(x)在點x0處也連續(xù);(2)f(x)g(x)在點x0處也連續(xù);(3)若在點x0處也連續(xù);(1)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算
3、后,在其定義域上連續(xù)(2)有限各連續(xù)函數(shù)的和、積也是連續(xù)函數(shù)注:無窮多個連續(xù)函數(shù)相加,可能得到一個不連續(xù)的函數(shù)反例設(shè)函數(shù),在區(qū)間上是連續(xù)的無窮多項這樣的函數(shù)之和為有限多項這樣的函數(shù)之和為。。不連續(xù)定理(復(fù)合函數(shù)的極限)若f(u)在u0處連續(xù),則有即說明:當函數(shù)f連續(xù)時,極限符號與函數(shù)符號f可以交換次序證明對任意的因為y=f(u)在u0處連續(xù),從而得定理證畢推論設(shè)u=g(x)在x0處連續(xù),u0=g(x0),y=f(u)在u0處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在點x0處連續(xù),即可知:兩個(有限個)連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)在一定的區(qū)間內(nèi)也是連續(xù)函數(shù)Q:無窮多個呢?定理(反函數(shù)的連
4、續(xù)性)設(shè)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),并且嚴格單調(diào)增(或嚴格單調(diào)減),f(a)=α,在(或)f(b)=β,則反函數(shù)上連續(xù),并且也是嚴格單調(diào)增加(或嚴格單調(diào)減少).證明略基本初等函數(shù)的連續(xù)性(1)三角函數(shù)在定義域上連續(xù)由可知:sinx,cosx在其定義域上連續(xù).再根據(jù)連續(xù)函數(shù)的四則運算性質(zhì)知:tanx,cotx,secx,cscx在其定義域上連續(xù).所以,三角函數(shù)在定義域上連續(xù)2.3.3初等函數(shù)的連續(xù)性證明對任意的x0>0,利用結(jié)論(3)對數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域上連續(xù)(4)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)在其定義域上連續(xù)(2)反三角函數(shù)
5、在其定義域上連續(xù)(5)冪函數(shù)f(x)=xμ(μ≠0)在其定義域上連續(xù)證明對任意的x0>0,據(jù)反函數(shù)的連續(xù)性,證:定理一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如從而有以下結(jié)論:定理基本初等函數(shù)在定義域上連續(xù)在定義區(qū)間上連續(xù)利用函數(shù)的連續(xù)性可以計算函數(shù)的極限解解30函數(shù)的間斷點及其分類如果f(x)在x0處不連續(xù),則稱點x0為函數(shù)f(x)的間斷點(或不連續(xù)點).f(x)在x0處連續(xù)的三要素:(2)存在(設(shè)為A);(3)(1)f(x)在某鄰域內(nèi)有定義;X0Ay=f(x)(1)f(x)在x0處無定義X0y=f(x)(3)f(x)在x0處出現(xiàn)跳躍(4)X0y=f(x)f(x)在x0附近無界f(
6、x)在x=0附近無限震蕩(5)Ay=f(x)(2)X0f(x)在x0處有定義間斷點的分類:1、第一類間斷點:2、第二類間斷點:(1)若,又稱x0為函數(shù)f(x)的可去間斷點(2)若,又稱x0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點第一類間斷點第二類間斷點注:一個新的連續(xù)函數(shù):所以,新函數(shù)F(x)在x0處連續(xù)由于此時有例討論下列函數(shù)的連續(xù)性:解(1)當x≠0時,x屬于初等函數(shù)的定義區(qū)間,于是f(x)在x處連續(xù)當x=0時,f(x)無定義,可知x=0是間斷點由于所以,x=0是可去間斷點(2)當x≠0時,x屬于初等函數(shù)的定義區(qū)間,可知x≠0是函數(shù)f(x)的連續(xù)點當x=0時,f(x)無定義,可知x=
7、0是間斷點由于所以,x=0是函數(shù)的第二類間斷點.(3)當x≠0時,x屬于初等函數(shù)的定義區(qū)間,于是f(x)在x處連續(xù)當x=0時,f(x)無定義,可知x=0是間斷點因為所以,x=0是函數(shù)的跳躍間斷點例討論函數(shù)的連續(xù)性解在分段點x=0處,當x>0時,f(x)在x=2n處無定義,可知x=2n是間斷點于是f(x)在x=0處連續(xù)又因所以,x=2n是f(x)的第二類間斷點,而在其余的x>0的點處f(x)連續(xù)當x<0時,f(x)在x=-1處無定義,可知x=-1是f(x)間斷點.又不存在,所以,x=-1是f(x)的第二類間斷點而在其