“恒成立”“能成立”“恰成立”問題.doc

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1、“恒成立”“能成立”“恰成立”問題謝道仁“恒成立”“能成立”“恰成立”問題在教材中雖然沒有專門設(shè)計(jì)，但這些內(nèi)容是高中內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)，同時(shí)也是高考和數(shù)學(xué)競賽的熱點(diǎn)，又因?yàn)樗鼈兊慕夥ǘ鄻?，所以這三類問題考生容易混淆不清，筆者認(rèn)為分離變量法和函數(shù)法具有思路清、操作強(qiáng)、易掌握等特點(diǎn)，所以在解決“恒成立”“能成立”“恰成立”問題是很好的方法。一、“恒成立”問題例1、（2010天津理數(shù)）設(shè)函數(shù)，對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是?！窘馕觥?分離變量法)依據(jù)題意得在上恒定成立，即在上恒成立。當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值，所以，即，解得或。另解（函數(shù)法）：依據(jù)題意得在上恒定成立，即0在上恒成立。

2、令,則∴在上恒成立，令∴且∴得或【溫馨提示1】本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題的第一種解法是利用分離變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解，即對原有不等式通過分離變量的方法分離出變量式使其成為，然后解這個(gè)函數(shù)的最小值得（或），所以，若對原有不等式通過分離變量的方法他離出變量式使其成為，然后解這個(gè)函數(shù)的最小值得或，所以（或），其基本步驟：分離變量，構(gòu)造函數(shù)，求最值。同學(xué)們可以類比得出若通過分離變量的方法分離出變量式使其成為或的結(jié)論。解決恒成立問題的第二種解法是函數(shù)法，即通過構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的特性分析解決問題，此例充分體現(xiàn)了分離變量的優(yōu)越性，顯然要比函數(shù)法簡單且不易出錯(cuò)。變式

3、引深：若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍。解：∵∴在上恒成立，即在上恒成立令，∴，∴可能的最小值為、、∴即∴【溫馨提示2】若此類問題分離變量后（見溫馨提示1），的最值難以確定，我們只須分析可能的最值就可以了。例2、（2010年全國理，20改編）、已知函數(shù)，若對任意,恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：，利用導(dǎo)數(shù)易得的最小值是∴在上恒成立∴在上恒成立令在上小于等于零恒成立∴即∴【溫馨提示3】若分離變量不容易時(shí)，應(yīng)選擇函數(shù)法求解。二、“能成立”問題例3、設(shè)，，若不等式能成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是什么？解：分離變量得：，∴即【溫馨提示4】此例為不等式能成立問題，解決此問題通?？梢岳梅蛛x

4、變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解，即對原有不等式通過分離變量的方法分離出變量式使其成為，然后解這個(gè)函數(shù)的最大值得（或），所以，同學(xué)們可以類比得出或或的結(jié)論。變式引深：若關(guān)于的方程能成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解（分離變量法）：∵關(guān)于的方程能成立∴∴∴另解（函數(shù)法）：設(shè),則t＞0∴在（0，+∞）上能成立，令，又因?yàn)闊o零根也無一正一負(fù)根∴或∴【溫馨提示5】此例是方程能成立問題，若能通過適當(dāng)?shù)淖冃?，使其成為的形式，則屬于的值域，此法充分體現(xiàn)了分離變量的優(yōu)越性，顯然要比函數(shù)法簡單且不易出錯(cuò)，不過當(dāng)分離變量不容易時(shí)，應(yīng)選擇函數(shù)法求解。三、“恰成立”問題例4、函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)

5、的取值范圍。解（分離變量法）：由分離變量得，即與在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)∴或另解（函數(shù)法）：∵有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，∴的圖像與x軸正半軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)m=0時(shí)合題意當(dāng)時(shí)，有4-4m=0,即m=1合題意當(dāng)時(shí)依據(jù)函數(shù)的圖像得合題意綜合得或【溫馨提示6】此例為方程恰成立問題，解決恰成立問題通?？梢岳梅蛛x變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的方法求解，即對原有不等式通過分離變量的方法分離出變量式使其成為，然后討論函數(shù)y=的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。解決恰成立問題也可用函數(shù)法求解，此例分離變量法簡單。變式引深2：若只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足不等式，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：要使只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足不等式即求拋物線在軸和軸下

6、方只有一個(gè)點(diǎn)∴△=∴或【溫馨提示7】此例也為不等式恰成立問題，解決不等式恰成立問題通?？梢岳梅蛛x變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式的方法求解，即對原有不等式通過分離變量的方法分離出變量式使其成為，然后討論函數(shù)y=在圖像上規(guī)定區(qū)域交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。“恒成立”“能成立”“恰成立”問題通過以上實(shí)例可以看出分離變量法和函數(shù)法是基本的方法，又因分離變量法容易掌握，因此分離變量法因優(yōu)先考慮，其次廣大讀者要認(rèn)真類比三類問題，不可混淆。