恒成立，能成立，恰成立問題區(qū)別

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1、恒成立，能成立，恰成立問題探討江西省崇仁縣第一中學（344200）饒長根恒成立，能成立，恰成立問題是高中數(shù)學三個重點，難點，特別是三者的區(qū)別與聯(lián)系更是許多考生難點！筆者在高三教學平時模擬考試中有一道這樣的題：已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍。約有70%是這樣解答的：（1）從而的最小正周期為（2）當時，，從而，所以，由題意只需，得錯解分析：（2）中只要存在即可，而不是恒成立，只需，故答案為本來這是一道比較容易的題目，但是很多同學沒有注意到這是道能成立問題（存在性問題），

2、這說明很多同學對這類問題的區(qū)別意識不強或者不知道它們的區(qū)別，本文就來通過幾道例題來探討它們的區(qū)別與聯(lián)系。題1．已知函數(shù)在與時都取得極值。（1）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍。解：由題知的兩根為和1，由韋達定理有：于是，所以當時，；當時，；當時，所以當時，有極大值，又，，，所以時，的最大值是，最小值是（1）當時，恒成立，所以，解得或（2）存在，使成立，則只要的最小值小于，即，得小結：（1）恒成立問題的原理：設函數(shù)的定義域為區(qū)間①若對恒成立或②若對恒成立或　常見處理方法：根據(jù)恒

3、成立問題的原理，具體題目的方法有：可化為一次函數(shù)法，可化為二次函數(shù)法，分離常數(shù)法（轉化成求最值問題），數(shù)形結合法等。（2）能成立問題的原理：設函數(shù)的定義域為區(qū)間①若存在，使得對成立或②若存在，使得對成立或　常見處理方法：能成立即存在性問題，根據(jù)能成立問題的原理，通常進行轉化為求最值問題（3）當題中出現(xiàn)“恒成立”，“對任意……都有……”等字樣，可考慮利用恒成立問題來處理，當題中出現(xiàn)“存在……成立”，“存在一個……滿足……”等字樣，可考慮利用存在性問題來處理，而且要注意它們有要本性的區(qū)別。題2．已知函數(shù)，對任意（1）恒

4、成立，求實數(shù)的取值范圍內；（2）的值域是，求實數(shù)的取值范圍。解：（1）顯然是一個恒成立問題，由于，恒成立，又等價于時，的最小值大于等于0恒成立。由于，即，所以從而的取值范圍是（2）由分析是一個恰成立問題，即當時，的值域恰為，與（1）中不同的是，（1）問是在時，恒成立，因此允許時，的取值范圍是，，…等等，即子集關系，而的值域是，則時，的取值恰好是。，當時，由于，則，這與的值域是矛盾，所以不能有當時，函數(shù)，在上的增函數(shù)，于是在上是最小值是，令，得變式：（1）已知函數(shù)的定義域是，求實數(shù)的取值范圍思維誤區(qū)：由題意可知，當時

5、，都有成立，即，且，解得正確解法：由題意，問題可等價轉化為不等式的解集為，記，，作圖形與，如圖，只須過點，，即，且，解得（2）.設函數(shù)，若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍解：由題意，不等式的解集是，設則即的解為，是方程的一根，，（3）恰成立問題的原理：設函數(shù)的定義域為區(qū)間若不等式（）在區(qū)間恰成立（）的解集為常見處理方法：關鍵是審清題意，弄清楚是不是恰成立的問題，然后根據(jù)原理處理。（2）對于（2）問應認真分析發(fā)現(xiàn)是恰成立問題，很具有隱蔽性，這個與我們以前講過的在為增函數(shù)，與的單調區(qū)間為有明顯的區(qū)別，前可看著恒成立問題

6、（恒成立），后者可看著恰成立問題（的兩根為）。（3）對于恰成立問題還可以這樣來理解：若，在上恰成立，等價于在上最小值；在上恰成立，等價于在上最大值對于恰成立問題很多學生不是很熟，下面再舉一個例子加強理解。題3．（1）已知，不等式的解集是，則滿足的關系是（）A．B．C．D．的大小的關系不能確定解：（1），即的解集為，從而，的兩根分別為0，（恰成立），可得答案C（2）已知其中為實數(shù)，是任意整數(shù)，且，如當時有意義，求的取值范圍。解：，，，即…(*)，因為在上都是增函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，所以，因此，（*）式等價于，即的

7、取值范圍是。小結：這兩問都是可以看著是恰成立問題，具有一定的隱蔽性，學生應在平時做題中發(fā)現(xiàn)、總結?？傊愠闪ⅲ艹闪?，恰成立問題在解題時首先要弄清楚是哪種類型，關鍵要從題中意思來判斷，這就要求學生在平時學習中要善于發(fā)現(xiàn)、歸納、總結；這也是學習數(shù)學關鍵的方法，只有這樣才能弄懂、弄透，達到舉一反三、觸類旁通。崇仁一中饒長根手機：13607943431E---mail:rao2000@163.com