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1、§3一元線性回歸返回目錄變量之間的關系大致有兩種:1.函數(shù)關系:確定性關系2.相關關系：非確定性關系社會經(jīng)濟領域中,投入與產(chǎn)出;價格與需求的關系等.例如:人的身高與體重;人的年齡與血壓;(一)一元線性回歸x:普通變量,Y:隨機變量,對Y獨立觀察得到當x取定一組不完全相同的值對應的樣本值用樣本來估計Y關于x的回歸函數(shù)μ(x).例1為研究某化學反應過程中,溫度x(℃)對產(chǎn)品得率Y(%)的影響,測得數(shù)據(jù)如下：x(℃)100110120130140150160170180190Y(%)45515461667074788589散點圖稱為一元線性回歸模型,b稱為回歸
2、系數(shù).其中未知參數(shù)a,b和都不依賴于x,一元線性回歸假設對x的每一個值有Y有兩部分組成:x的線性函數(shù)隨機誤差記(二)a,b的估計作獨立試驗,得到樣本當x取一組不全相同的值相互獨立,相互獨立,它們的聯(lián)合密度是用最大似然估計法估計a,b.L最大,只需下式最小,正規(guī)方程組:系數(shù)行列式∴有唯一解,回歸函數(shù)的估計稱為Y關于x的經(jīng)驗回歸方程,簡稱回歸方程,其圖形稱為回歸直線.例2例1中為研究某化學反應過程中,溫度x(℃)對產(chǎn)品得率Y(%)的影響,測得數(shù)據(jù)如下：x(℃)100110120130140150160170180190Y(%)4551546166707478
3、8589計算回歸直線方程:或(三)σ2的估計記稱為處的殘差.殘差平方和是與處的觀察值的偏差的平方和.Qe的分解：Qe的一個分解式:σ2的無偏估計量:記可證明:例3求例2中σ2的無偏估計.(四)線性假設的顯著性檢驗提出假設可以證明,與Qe獨立,當H0為真時,拒絕域:例4檢驗例2中的回歸效果是否顯著,α=0.05拒絕認為回歸效果是顯著的.*(五)系數(shù)b的置信區(qū)間b的置信水平為1-α的置信區(qū)間為=(0.45894,0.50712)例2中b的置信水平為0.95的置信區(qū)間為*(六)回歸函數(shù)μ(x)=a+bx函數(shù)值的點估計和置信區(qū)間點估計：相應的估計量:可以證明,與
4、獨立,置信水平為1-α的置信區(qū)間或(七)Y的觀察值的點預測和預測區(qū)間點預測：相互獨立,Y0的置信水平為1-α的預測區(qū)間1*該區(qū)間以為中心,長度為是x0的函數(shù);或2*在處區(qū)間長度最短,x0越遠離,則長度就越長,隨n的增加,長度縮短;3*置信區(qū)間的上限與下限的曲線對稱地落在回歸直線的兩側,成喇叭型.例5例2中(1)*求回歸函數(shù)μ(x)在x=125處的值μ(125)的置信水平為0.95的置信區(qū)間,求在x=125處Y的新觀察值Y0置信水平為0.95的預測區(qū)間;(2)求在x=x0處Y的新觀察值Y0置信水平為0.95的預測區(qū)間;=57.64=0.84回歸函數(shù)μ(x)
5、在x=125處的值μ(125)的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(57.64±0.84)=(56.80,58.48)在x=125處得率Y0的置信水平為0.95的預測區(qū)間(57.64±2.34)=(55.3059.98)(2)求在x=x0處得率Y0的置信水平為0.95的預測區(qū)間:=2.34(八)可化為一元線性回歸的例子變量之間的相關關系在實際中往往不一定是線性的，直接求解回歸曲線往往比較困難,對一些特殊類型，可通過適當?shù)淖兞刻鎿Q化為線性回歸問題來處理.通常需要用回歸曲線來描述.常見的曲線方程及其圖形如下：1.雙曲線型原方程：變換方法：變換后方程：2.指數(shù)曲線
6、型（之一）原方程：變換方法：變換后方程：原方程：變換方法：變換后方程：（之二）3.冪函數(shù)型原方程：變換方法：變換后方程：4.對數(shù)曲線型原方程：變換方法：變換后方程：5.S曲線型原方程：變換方法：變換后方程：例6:為了解百貨商店銷售額x與流通費率(這是反映商業(yè)活動的一個質量指標,指每元商品流轉額所分攤的流通費用)y之間的關系,收集了九個商店的有關數(shù)據(jù)見下表：i銷售額（x:萬元）流通費率（y:%）11.57.124.54.837.53.6410.53.1513.52.7616.52.5719.52.4822.52.3925.52.2解：(1)x與y的散點圖：
7、觀察上述散點圖可以發(fā)現(xiàn),這九個點大致在一條曲線附近,因而宜用曲線去擬合這批數(shù)據(jù),即建立回歸曲線方程.回歸曲線的形式確定,應盡可能地采用專業(yè)知識,此外也可以與典型的函數(shù)圖象對照使用.此時可能有多種選擇方案,對本例來講可選用(2)確定回歸曲線類型(3)對原始數(shù)據(jù)作相應的變量替換，變換后的數(shù)據(jù)列表11.57.00.40551.94597.16650.166524.54.81.50411.56864.48850.311537.53.62.01491.28093.61090.0109410.53.12.35141.13143.12880.0228513.52.72
8、.60270.99332.81120.1112616.52.52.80340.9
