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1、自相關函數與偏自相關函數上一節(jié)介紹了隨機過程的幾種模型。實際中單憑對時間序列的觀察很難確定其屬于哪一種模型，而自相關函數和偏自相關函數是分析隨機過程和識別模型的有力工具。1、自相關函數定義在給出自相關函數定義之前先介紹自協(xié)方差函數概念。由第一節(jié)知隨機過程{x}中的t每一個元素x，t=1,2,…都是隨機變量。對于平穩(wěn)的隨機過程，其期望為常數，用?表t示，即Ex()??，t?1,2,t隨機過程的取值將以?為中心上下變動。平穩(wěn)隨機過程的方差也是一個常量2Varx()??，t?1,2,tx2?用來度量隨機過程取值對其均值?的離散程
2、度。x相隔k期的兩個隨機變量x與x的協(xié)方差即滯后k期的自協(xié)方差，定義為：ttk???Covxx(,)?Ex[(??)(x??)]kttk??ttk自協(xié)方差序列：?，k?0,1,2,k2稱為隨機過程{x}的自協(xié)方差函數。當k=0時，????Varx()。t0txCovxx(,)ttk?自相關系數定義：??kVarx()Varx()ttk?2因為對于一個平穩(wěn)過程有：Varx()??Varx()?ttk?xCovxx(,)??ttk?kk所以????，當k=0時，有??1。k220???xx0以滯后期k為變量的自相關系數列?（k
3、?0,1,2,）稱為自相關函數。因為???，kkk?即Covx(,)x=Covxx(,)，自相關函數是零對稱的，所以實際研究中只給出自相關tk?tttk?函數的正半部分即可。12、自回歸過程的自相關函數（1）平穩(wěn)AR(1)過程的自相關函數AR(1)過程：x???xu，?????1。t11t?t已知Ex()?0（why?）。用x同乘上式兩側ttk?xx???xxuxttk?11t?tk?ttk?上式兩側同取期望：????k11k?2其中Eux(ttk?)0?（why?）（由于xt=ut+?1ut-1+?1ut-2+…，所以x
4、t-k=ut-k+?1ut-k-1+2?1ut-k-2+…，而ut是白噪音與其t-k期及以前各項都不相關）。2k兩側同除?0得：?k???1k??1???1k2????10k因為?o=1，所以有?k??1（k?0）對于平穩(wěn)序列有??????。所以當?1為正時，自相關函數按指數衰減至零；當?1為負時，自相關函數正負交錯地指數衰減至零。見下圖。因為對于經濟時間序列，?1一般為正，所以第一種情形常見。指數衰減至零的表現形式說明隨著時間間隔的加長，變量之間的關系變得越來越弱。.8.4.6.4.0.2-.4.0-.2-.824681
5、0121424681012141>??>0-1?情形即非平穩(wěn)和強非平穩(wěn)過程的自相關函數如下圖。21.541.0320.510.00-1-0.5-2-3-1.0-4-1.524681012142468101214??=1.1（強非平穩(wěn)過程）??=1（隨機游走過程）（2）AR(p)過程的自相關函數用x(k???同乘平穩(wěn)的p階自回歸過程x??x??x???x?utk?t1t?12t?2ptp?t的兩側，得：xx??xx??xx???xx?xutkt?1tkt??12
6、tkt??2ptktp??tkt?對上式兩側分別求期望得：???????????，k?0k1k?12k?2pkp?用?0分別除上式的兩側得Yule-Walker方程：?k=?1?k-1+?2?k-2+…+?p?k-p，k?0p2p?1令?()1L???12L??L???piL??(1-GL)，其中L為k的滯后算子，這里Gi,i?1i=1,2,…,p是特征方程??()0L的根。為保證隨機過程的平穩(wěn)性，要求G?1。則：i?12??pkk?12k?kp?10??G??G???G?，也即G??G??G???G。12iipii12i
7、ipikkk可證：??AG?AG??AG（*）k1122pp其中Ai,i=1,…，p為待定常數。（提示：可把（*）式代入到Yule-Walker方程中證明）由（*）式知道會遇到如下幾種情形。k①當G為實數時，（*）式中的AG將隨著k的增加而幾何衰減至零，稱為指數衰減。iii22②當Gi和Gj表示一對共軛復數時，設Gi??abi，Gj??abi，a?b=R，則Gi,G的極座標形式是：jG??R(cos??isin)iG??R(cos??isin)j3若AR(p)過程平穩(wěn)，則G?1，所以必有R<1。那么隨著k的增加，ikkG?
8、?R(cosk??isink)ikkG??R(cosk??isink)jkk自相關函數（*）式中的相應項G,G將按正弦振蕩形式衰減。ij注意：實際中的平穩(wěn)自回歸過程的自相關函數常是由指數衰減和正弦衰減兩部分混合而成。③從（*）式可以看出，當特征方程的根取值遠離單位圓時，k不必很大，自相關函數就會衰減至零
