自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù).doc

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1、自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)上一節(jié)介紹了隨機過程的幾種模型。實際中單憑對時間序列的觀察很難確定其屬于哪一種模型，而自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)是分析隨機過程和識別模型的有力工具。1、自相關(guān)函數(shù)定義在給出自相關(guān)函數(shù)定義之前先介紹自協(xié)方差函數(shù)概念。由第一節(jié)知隨機過程{}中的每一個元素，t=1,2,…都是隨機變量。對于平穩(wěn)的隨機過程，其期望為常數(shù)，用表示，即，隨機過程的取值將以m為中心上下變動。平穩(wěn)隨機過程的方差也是一個常量，用來度量隨機過程取值對其均值的離散程度。相隔k期的兩個隨機變量與的協(xié)方差即滯后k期的自協(xié)方差，定義為：自協(xié)方差序列：，稱為隨機過程{}的自協(xié)方

2、差函數(shù)。當(dāng)k=0時，。自相關(guān)系數(shù)定義：因為對于一個平穩(wěn)過程有：所以，當(dāng)k=0時，有。以滯后期k為變量的自相關(guān)系數(shù)列（）稱為自相關(guān)函數(shù)。因為，即=，自相關(guān)函數(shù)是零對稱的，所以實際研究中只給出自相關(guān)函數(shù)的正半部分即可。2、自回歸過程的自相關(guān)函數(shù)（1）平穩(wěn)AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)AR(1)過程：，

3、f1

4、<1。已知（why?）。用同乘上式兩側(cè)上式兩側(cè)同取期望：其中（why?）（由于xt=ut+f1ut-1+f12ut-2+…，所以xt-k=ut-k+f1ut-k-1+f12ut-k-2+…，而ut是白噪音與其t-k期及以前各項都不相關(guān)）。兩側(cè)同除g0得：因

5、為ro=1，所以有（）對于平穩(wěn)序列有

6、f1

7、<1。所以當(dāng)f1為正時，自相關(guān)函數(shù)按指數(shù)衰減至零；當(dāng)f1為負(fù)時，自相關(guān)函數(shù)正負(fù)交錯地指數(shù)衰減至零。見下圖。因為對于經(jīng)濟時間序列，f1一般為正，所以第一種情形常見。指數(shù)衰減至零的表現(xiàn)形式說明隨著時間間隔的加長，變量之間的關(guān)系變得越來越弱。1>f1>0-11情形即非平穩(wěn)和強非平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)如下圖。f1=1.1（強非平穩(wěn)過程）f1=1（隨機游走過程）（2）AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù)用(k>0)同乘平穩(wěn)的p階自回歸過程的兩側(cè)，得：對上式兩側(cè)分別求期

8、望得：，k>0用g0分別除上式的兩側(cè)得Yule-Walker方程：rk=f1rk-1+f2rk-2+…+fprk-p，k>0令，其中L為k的滯后算子，這里,i=1,2,…,p是特征方程的根。為保證隨機過程的平穩(wěn)性，要求。則：，也即?？勺C：（*）其中Ai,i=1,…，p為待定常數(shù)。（提示：可把（*）式代入到Y(jié)ule-Walker方程中證明）由（*）式知道會遇到如下幾種情形。①當(dāng)為實數(shù)時，（*）式中的將隨著k的增加而幾何衰減至零，稱為指數(shù)衰減。②當(dāng)和表示一對共軛復(fù)數(shù)時，設(shè)，，=R，則,的極座標(biāo)形式是：若AR(p)過程平穩(wěn)，則，所以必有R<1。那么隨著k的增

9、加，自相關(guān)函數(shù)（*）式中的相應(yīng)項,將按正弦振蕩形式衰減。注意：實際中的平穩(wěn)自回歸過程的自相關(guān)函數(shù)常是由指數(shù)衰減和正弦衰減兩部分混合而成。③從（*）式可以看出，當(dāng)特征方程的根取值遠(yuǎn)離單位圓時，k不必很大，自相關(guān)函數(shù)就會衰減至零。④有一個實數(shù)根接近1時，自相關(guān)函數(shù)將衰減的很慢，近似于線性衰減。當(dāng)有兩個以上的根取值接近1時，自相關(guān)函數(shù)同樣會衰減的很慢。兩個特征根為實根兩個特征根為共軛復(fù)根圖AR(2)過程的自相關(guān)函數(shù)3、移動平均過程的自相關(guān)函數(shù)（1）MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)。對于MA(1)過程，有：當(dāng)k=0時，當(dāng)k=1時，當(dāng)k>1時，綜合以上三種情形，MA(

10、1)過程自相關(guān)函數(shù)為rk==q1>0q1<0圖MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)可見MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)具有截尾特征。當(dāng)k>1時，rk=0。（2）MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是rk=當(dāng)k>q時，rk=0，說明rk,k=0,1,…具有截尾特征。例如，對于MA(2)過程，自相關(guān)函數(shù)是r1=,r2=,rk=0,k>2。4、ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)rk從r1開始指數(shù)衰減。r1的大小取決于f1和q1,r1的符號取決于(f1-q1)。若f1>0，指數(shù)衰減是平滑的，或正或負(fù)。若f1<0，相關(guān)函數(shù)為正負(fù)

11、交替式指數(shù)衰減。對于ARMA(p,q)過程，p,q32時，自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)形式比較復(fù)雜，可能是指數(shù)衰減、正弦衰減或二者的混合衰減。5、相關(guān)圖（correlogram，或估計的自相關(guān)函數(shù)，樣本自相關(guān)函數(shù)）對于一個有限時間序列（x1,x2,…,xT）用樣本平均數(shù)=估計總體均值m，用樣本方差s2=估計總體方差sx2。當(dāng)用樣本矩估計隨機過程的自相關(guān)函數(shù)，則稱其為相關(guān)圖或估計的自相關(guān)函數(shù)，記為rk=,k=0,1,2,…,K,(K

12、T不應(yīng)太小，最好能大于60。注意：Ck為有偏估計量。但在小樣本條件下更有效。相關(guān)圖是對自相關(guān)函