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1、二、直線與圓相交弦長問題一、知識儲備性質(zhì)1：直線與圓相交，則圓心到直線的距離d＝＜r；性質(zhì)2：由消元得到一元二次方程的判別式Δ＞0；性質(zhì)3：若直線l與圓C交于A，B兩點，設(shè)弦心距為d，半徑為r，弦長為
2、AB
3、，則有2＋d2＝r2，二、典例練習(xí)[例] 已知圓的方程為x2＋y2＝8，圓內(nèi)有一點P(－1,2)，AB為過點P且傾斜角為α的弦．(1)當α＝135°時，求AB的長；(2)當弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程．解析：法一：法二：[練習(xí)]已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2，求圓C的方程．解析：[練習(xí)已知某圓圓心在x軸上，半徑長為5，且截y
4、軸所得線段長為8，求該圓的標準方程．解析：三、類題通法求直線與圓相交時弦長的兩種方法(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為
5、AB
6、，則有2＋d2＝r2，即
7、AB
8、＝2.(2)代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
9、AB
10、＝＝
11、x1－x2
12、＝
13、y1－y2
14、(直線l的斜率k存在)．二、直線與圓相交弦長問題一、知識儲備性質(zhì)1：直線與圓相交，則圓心到直線的距離d＝＜r；性質(zhì)2：由消元得到一元二次方程的判別式Δ＞0；性質(zhì)3：若直線l與圓C交于A，B兩點，設(shè)弦心距為d，半徑為r，弦
15、長為
16、AB
17、，則有2＋d2＝r2，二、典例與練習(xí)[例] 已知圓的方程為x2＋y2＝8，圓內(nèi)有一點P(－1,2)，AB為過點P且傾斜角為α的弦．(1)當α＝135°時，求AB的長；(2)當弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程．[解] (1)法一：(幾何法)如圖所示，過點O作OC⊥AB.由已知條件得直線的斜率為k＝tan135°＝－1，∴直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.∵圓心為(0,0)，∴
18、OC
19、＝＝.∵r＝2，∴
20、BC
21、＝＝，∴
22、AB
23、＝2
24、BC
25、＝.法二：(代數(shù)法)當α＝135°時，直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，
26、得2x2－2x－7＝0.∴x1＋x2＝1，x1x2＝－，∴
27、AB
28、＝
29、x1－x2
30、＝＝.(2)如圖，當弦AB被點P平分時，OP⊥AB，∵kOP＝－2，∴kAB＝，∴直線AB的方程為y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.[練習(xí)已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2，求圓C的方程．解：設(shè)圓心坐標為(3m，m)．∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3
31、m
32、，∴圓心到直線y＝x的距離為＝
33、m
34、.由半徑、弦心距、半弦長的關(guān)系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.[練習(xí)已知某圓圓心在x
35、軸上，半徑長為5，且截y軸所得線段長為8，求該圓的標準方程．[解] 法一：如圖所示，由題設(shè)
36、AC
37、＝r＝5，
38、AB
39、＝8，∴
40、AO
41、＝4.在Rt△AOC中，
42、OC
43、＝＝＝3.設(shè)點C坐標為(a,0)，則
44、OC
45、＝
46、a
47、＝3，∴a＝±3.∴所求圓的方程為(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.法二：由題意設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝25.∵圓截y軸線段長為8，∴圓過點A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.∴所求圓的方程為(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.三、類題通法求直線與圓相交時弦長的兩種方法(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交
48、于A，B兩點，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為
49、AB
50、，則有2＋d2＝r2，即
51、AB
52、＝2.(2)代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
53、AB
54、＝＝
55、x1－x2
56、＝
57、y1－y2
58、(直線l的斜率k存在)．
