伊藤清概率論第一章.pdf

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1、第1章概率論的基本概念x1概率空間的定義概率空間是用數(shù)學觀點闡述與研究隨機現(xiàn)象的出發(fā)點．在定義概率空間之前，我們先回顧一些測度論中的有關概念．抽象空間集合的別稱．如全體實數(shù)的集合構成一個抽象空間，又如賦予歐氏(Euclid)距離的n維向量空間也是抽象空間，本書中將它們分別用R和Rn表示．完全加法族如果一個抽象空間的子集類滿足下列三個條件，則稱它為該抽象空間的完全加法族(也稱為?代數(shù)).1±抽象空間本身是其中的一個元.假設此空間為?，此子集類為F，則?2F:2±屬于F的可數(shù)無限個集合的并也屬于F，即S1E1;E2;E3;￠￠￠2F=)Ek2F:k=13±屬于F的集合的余集也屬于F，即若E2F，則

2、2第1章概率論的基本概念??E2F．利用這三個條件，我們可以推出下列結論.4±空集(今后用?表示)也屬于F．事實上，在3±中取E=?即可.T15±如果E;E;E;￠￠￠2F,則E2F.123kk=1T1S1由恒等式E=??(??E)以及2±和3±可得kkk=1k=1這個結論.6±如果E;E2F,則E[E;EE;E?E2F．這12121212是由于E1[E2=E1[E2[?[?[?[￠￠￠;E1E2=E1E2???￠￠￠;E1?E2=E1(??E2):一個抽象空間?的完全加法族不是唯一的.其中f?;?g是最小的一個，?的所有子集的全體是最大的完全加法族.如果?有多個完全加法族，那

3、么它們的交仍然是?的完全加法族.對于?的一個子集族，包含這個子集族的?的最小完全加法族存在并且唯一，稱其為由這個子集族生成的完全加法族．例如，由R的全體區(qū)間構成的族所生成的完全加法族為Borel集合族．再如，端點為有理數(shù)的全體區(qū)間構成的族也生成同一個Borel集合族．R上的完全加法族有很多種，但是Borel集合族是最有用的一個．將空間?與其子集構成的一個完全加法族F結合來考慮時，所產(chǎn)生的序偶(?;F)稱為可測空間.然而，當?=R時，通x1概率空間的定義3常取F為R的Borel集合族B，并且在多數(shù)場合下將(R;B)簡單地寫成R.對于空間Rn，同樣將n維可測空間(Rn;Bn)也簡單地寫成Rn.此外

4、，當?為可分距離空間D時，由D與D的鄰域族生成的完全加法族構成的可測空間，也簡單地記成D.測度假設F為抽象空間?的一個完全加法族，m為?上的集函數(shù)并且滿足：1±m(xù)的定義域為F;2±對于所有的E2F，m(E)>0;3±m(xù)是完全可加的，即對任意兩兩不相交的集合序列fE;1E2;￠￠￠g?F，均成立μ?S1P1mEi=m(Ei):i=1i=1這時，稱m為(?;F)上的測度.當?=Rn而F為Borel集nn①合族B時，稱m為R上的測度.序偶(?;F;m)稱為測度空間.現(xiàn)在，我們來給出概率空間的定義.定義1.1給定抽象空間?與其上的一個完全加法族F.可測空間(?;F)上滿足P(?)=1①關于測度，請參看

5、高木貞治教授的著作《解析概論》的第9章.(本書中文版即將由人民郵電出版社出版.)4第1章概率論的基本概念的測度P，稱為(?;F)上的概率測度.對于E2F，稱P(E)為E的概率或E的P-測度.將?,F,P一起考慮時，所產(chǎn)生的序偶(?;F;P)稱為概率空間.x2概率空間的實際意義針對想理解后面出現(xiàn)的定理含義的讀者，這里有必要對前一節(jié)定義的抽象概率空間在實際隨機現(xiàn)象研究中的應用加以說明，僅對推理感興趣的讀者另當別論.隨機現(xiàn)象的研究基本上分為以下三個步驟.第一步：試驗如投擲一枚均勻的骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù);又如從有6個黑球4個白球的盒子中任取一個球，等等.第二步：設定標記為將試驗的結果在腦海中清晰地描繪

6、出來，有必要事先確定結果的精度.以擲骰子的試驗為例，要確①定的是像德川時代的賭徒們所想的那樣只是分偶數(shù)與奇數(shù)，②還是像雙六游戲那樣關注骰子的點數(shù)本身.為此我們引入標記，也就是說某一個空間?，它可以是R，Rn甚至是更一般的①德川時代自公元1603年德川家康受任征夷大將軍在江戶設幕府開始，至1867年第15代將軍慶喜將政治大權奉還朝廷(即大政奉還)為止，約265年，為繼鐮倉、室町幕府之后最強盛也是最后的武家政治組織.

7、

8、譯者注②一種擲骰子決定賭博的游戲.

9、

10、譯者注x2概率空間的實際意義5抽象空間.當確定抽象空間后，將試驗的結果與?中的點對應并將其點在腦海中描繪出來，這就是標記.在前面賭博的場合?=

11、f偶,奇g，在雙六游戲的場合?=f1;2;3;4;5;6g.對標記應該注意的是：1±與空間?的任何點都不對應的現(xiàn)象不會發(fā)生;2±與空間?的兩個點或更多點對應的現(xiàn)象也不會發(fā)生;3±空間?中存在與現(xiàn)象不對應的點也無妨.例如在雙六游戲的場合，?=R也可以，其中1;2;3;4;5;6以外的點與現(xiàn)象不對應.這里講的?相當于概率空間(?;F;P)中的?.第三步：引入概率若如上面那樣考慮，要確定試驗結果發(fā)生的可