阻尼振動(dòng)的Mathematica模擬.pdf

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1、第27卷第5期大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)V01．27No．52014年1O月PHYSICALEXPERIMENTOFC0LLEGE0ct．2014文章編號(hào)：1007—2934(2014)05-0080—04阻尼振動(dòng)的Mathematica模擬謝文海，吉莉，滕艷萍，楊碩(1．大連大學(xué)，遼寧大連116622；2．大連科技學(xué)院，遼寧大連116035)摘要：阻尼振動(dòng)在物理學(xué)中是一類重要的振動(dòng)類型，形式復(fù)雜多樣。以彈簧振子為例，運(yùn)用Mathematica軟件計(jì)算模擬阻尼振動(dòng)，并且對(duì)阻尼振動(dòng)進(jìn)行傅立葉分析，用圖像直觀展現(xiàn)阻尼振動(dòng)的特性，幫助人們理解阻尼振動(dòng)的原理和探究阻尼振動(dòng)的基本規(guī)律。研究為相

2、關(guān)的教學(xué)研究和工程分析提供了有益借鑒。關(guān)鍵詞：阻尼振動(dòng)；Mathematica中圖分類號(hào)：04—34文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A阻尼振動(dòng)是自然界普遍存在的一種振動(dòng)形的教學(xué)研究和工程分析提供有益借鑒。式，是振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)與外界共同作用的結(jié)果。阻尼振動(dòng)?是物理學(xué)和工程領(lǐng)域的一種常1阻尼振動(dòng)的Mathematica符號(hào)計(jì)見(jiàn)的物理現(xiàn)象，工程中常見(jiàn)的阻力有各種不同的算和數(shù)值模擬形式，如物體在液體和氣體中振動(dòng)時(shí)的粘尼力；物體沿接觸面振動(dòng)時(shí)的滑動(dòng)和滾動(dòng)摩擦力；材料本運(yùn)用Mathematica來(lái)計(jì)算阻尼振動(dòng)。以水平身的內(nèi)摩擦如電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)中導(dǎo)線的內(nèi)阻等等，其彈簧振子為例，在阻尼運(yùn)動(dòng)中，物體在水平方

3、向受特性在實(shí)際問(wèn)題中較為常見(jiàn)，應(yīng)用較廣。到輕質(zhì)彈簧的彈性力以及阻力的作用。振動(dòng)速度Mathematica是美國(guó)WolframResearch公司較小時(shí)，阻尼力F的大小與振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度的大開(kāi)發(fā)的數(shù)學(xué)軟件，Mathematica具有運(yùn)算準(zhǔn)確，方小成正比，方向相反，表示為F=一。這里以彈便簡(jiǎn)潔，易于操作和直觀等優(yōu)點(diǎn)。利用它可以進(jìn)簧振子為例，振動(dòng)系統(tǒng)方程可寫為行微分、積分、向量、矩陣的運(yùn)算以及方程式求解、m一一(1)運(yùn)算式的化簡(jiǎn)和展開(kāi)、因式分解、數(shù)值分析等數(shù)學(xué)運(yùn)算，同時(shí)它還具有強(qiáng)大的繪圖功能和交互操作式中：為阻力系數(shù)，k為彈簧系數(shù)；將兩邊都除以功能，可以繪制出精美的二維圖，三維

4、圖等。m，同時(shí)令=旦，盧=。∞。為振動(dòng)系統(tǒng)固有圓Mathematica強(qiáng)大的功能，使其廣泛運(yùn)用數(shù)學(xué)、物頻率，為阻尼系數(shù)，即上式表示為理、生物、金融等領(lǐng)域的科研和教學(xué)中。已有研究表明Mathematica輔助理論力學(xué)將有助于優(yōu)化教籌+。20(2)學(xué)效果。利用Mathematica中傅里葉變換可幫在Mathematica面板中利用DSolve來(lái)解二階助分析阻尼運(yùn)動(dòng)信號(hào)的頻譜和能譜j。常微分方程，如下以彈簧振子為例，利用Mathematica簡(jiǎn)化阻尼In[1]=DSolve[”[t]+2，lc[t]+振動(dòng)的理論計(jì)算，推導(dǎo)阻尼振動(dòng)的基本原理，展現(xiàn)∞=l：t]=0，[t]，t]基

5、本規(guī)律，利用Mathematica傅里葉變換對(duì)阻尼運(yùn)Out[1]={{t]一e‘一一6C[1]+動(dòng)進(jìn)行分析，并用圖像清晰直觀展現(xiàn)阻尼振動(dòng)的規(guī)律。研究運(yùn)用Mathematica計(jì)算和模擬阻尼振e(一∞6C[2]}}(3)動(dòng)，形象直觀的展現(xiàn)阻尼振動(dòng)的特點(diǎn)，以期為相關(guān)根據(jù)。，JB的關(guān)系可以將阻尼分為三種類型，收稿日期：：2014—05—26基金項(xiàng)目：大連大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(2013260)通訊聯(lián)系人阻尼振動(dòng)的Mathematica模擬當(dāng)<03。時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)是欠阻尼振動(dòng)，我們利用由圖像分析，。和相差較小時(shí)，振幅減小較數(shù)值模擬來(lái)探究阻尼振動(dòng)的規(guī)律。取盧=÷，大，振蕩時(shí)

6、間越短；09。和相差較小時(shí)，振幅減小較大，振蕩時(shí)間越短。。=15，假設(shè)初值條件[0]：0，[0]=3，輸入當(dāng)=∞。時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)為臨界阻尼。這里將阻函數(shù)表達(dá)式，振用Mathematica可作出—t圖，如圖尼系數(shù)和振動(dòng)圓頻率改成=O9。=3同理操作可1所示。在Mathematica窗口輸入下列式子：得—t圖見(jiàn)圖3。由圖可知，當(dāng)=。時(shí)，質(zhì)點(diǎn)從振In[2]：=DSolve[{”[t]+[t]+225x[t]=動(dòng)處迅速移向平衡位置停止振動(dòng)，即為臨界阻尼0，[0]=3，[0]=0}，[t]，t]振動(dòng)。Out[2]={x[f]一南et(899cos[]+sin[])(4)由公式分析，可

7、知其振幅為3e一寺和一3e一。利用Plot畫圖語(yǔ)句，畫出阻尼振動(dòng)的振動(dòng)圖像如圖2所示。PloI[3e__t(899c0s[]+圖3當(dāng)盧==3時(shí)。l臨界阻尼振動(dòng)的圖像,／8g9~sin[~／899t1)3e一寺，一3e一寺}，，．當(dāng)盧>。時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)為過(guò)阻尼振動(dòng)，取。=2，=5，同理操作作出—t圖如圖3所示。由圖0，2Pi}，PlotRange．-+A11]可知，當(dāng)>。時(shí)，質(zhì)點(diǎn)將從振幅處向平衡位置緩緩移動(dòng)，且停止振動(dòng)前經(jīng)歷時(shí)間較長(zhǎng)，則為過(guò)阻尼振動(dòng)，見(jiàn)圖4。圖1當(dāng)<盧時(shí)，阻尼振動(dòng)振動(dòng)的圖像我們還可以探究在相同初始條件下，。和圖4當(dāng)口時(shí)。過(guò)阻尼